SIRALAMA AKSİYOMLARI

Uzunlukları mukayese ederken ve onları kaydederken sayılarla ilgili insanoğlunun ilk kullandığı kavramlardan biri sıralamadır. Buna göre büyük sayılar büyük uzunluklara karşılık getirilir. Şüphesiz sayılara bir kümenin elemanları karşılık getirilerek işe başlanabilirdi. Fakat bu sadece tam sayıları verirdi. Diğr taraftan uzun fikri sadece rasyonel sayıları değil ,, e sayısı, gibi irrasyonel sayılarıda verir. Bu gibi geometrik fikirler asırla boyunca geliştirilirken matematiçiler gerçel sayıları, gerçel sayılar doğrusu ile bağdaştırmışlardır.

-3 -2 -1 0 1 2 3
Şekil: Gerçel Sayı Doğrusu
Şeklin temel bir özelliği verilen a ve b gerçel sayı çiftinden birisinin diğerinin solunda bulunmasıdır.Buna göre “solunda bulunma” deyimi bir bağıntı olarak düşünülebilir.
BAĞINTI
A ve B kümeleri verilmiş olsun. A’nın bazı ögelerini , B’nin bazı ögelerine bağlayan bir kurala A’dan B’ye (A B) bir bağıntıdır denir.
Örnek:
E ve K kümelerinin ögeleri arasında bir bağıntı “evlilik ilişkisi” olsun.
R= { (x,y) I xЄ E, yЄK ve x ile y evlidir}
Bu örnekte olduğu gibi R kümesi bir bağıntı örneğidir.
SIRALAMA BAĞINTISI
Bir cümlede tanımlanan bir bağıntının yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa bu bağıntıya “sıralama bağıntısı” denir.
Yansıma özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
x (xЄA için (x,x) Є β ise β yansıyandır.
Ters simetri: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda ya da
x=y olmalıdır
(x,y) ([xy (x,y) Є β] (y,x)β) ise β bağıntısı ters simetriktir
Geçişme özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β : x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
[((x,y) Є β (y,z) Є β) (x,z) Є β )] ise β bağıntısı geçişlidir.

Bir A cümlesinde bir sıralama bağıntısı varsa bu cümleye “sıralı cümle” denir.
Bir cümlede tanımlı sıralama bağıntısı simgesiyle gösterilir.
(x,y) Є x y
x y ifadesi sıralamasına göre x y’den önce gelir veya x,y’ye eşittir diye okunur. xy ifadesi y x biçiminde de gösterilir. Özel olarak xa, a=b ifadelerinden biri ve yalnız biri doğrudur.
Buna trikotomi denir.
*a,b Î IR olmak üzere a>b Û reel sayı ekseni üzerinde a, b nin sağındadır.
· x >0 Û x, 0 ın sağındadır.
· a>b Û a-b>0 dır.
· a>b Û a=b+h olacak şekilde pozitif bir h sayısı vardır.
² = ² sembolü yerine ²<, > ,£ ,³ ² sembollerinden birinin bulunduğu önermelere eşitsizlik denir.
< ,> sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere kuvvetli eşitsizlikler; £, ³ sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere zayıf eşitsizlik denir.
3x+5>7 şeklinde içerisinde bilinmeyen bulunduran eşitsizlikler açık önermedir; 6<9 a="b" 10=" 39" 21=" 10x" 0=" x2" x4 =" a+" ax2="b" a="bx2" mx="n" mx2="n" mx="n" x3="15x+4’ü" x="4">