| Daha fazla bilgi yarışması için buraya tıklayın |
fcksavedurl="http://images.repage.de/games/index.php?g=alien" target=_blank>
30 Ekim 2007 Salı
29 Ekim 2007 Pazartesi
TÜMEVARIM
· Tümevarım Nedir?
’’Eğer çok sayıda A çeşitli şartlar altında gözlemlenmiş ise ve eğer gözlemlenen tüm A’lar istisnasız B özelliğine sahip ise, o zaman A’lar B özelliğine sahiptir.’’ (Tümevarım ilkesi)
Bu ilke tümevarımın bilim üzerine inşa edildiği temel ilkedir. Tümevarım’ı bu ilke ile açıklıyoruz.
Tümevarım bir ispat yöntemidir. Bu yöntemde asıl olan parçadan bütüne ulaşmaktır. Yani parça için geçerli olan kesinlikle bütün için de geçerlidir.
· Tarihsel Yaklaşım
19. yy’ın ikinci yarısının en büyük Fransız matematikçisi Henri Poincare (1854-1912)’in matematiğin temelleri ile ilgili makaleleri vardır. Matematiksel düşünmenin gerçek aracının matematiksel indüksiyon (Tümevarım) olduğunu söylemiş ve bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir seviyeye indirilemeyeceğini söylemiştir.
Tümevarım sürecinde sonuca aşağıdaki evrelerden geçilerek ulaşılır (Tümevarım evreleri).
1. Sorunun niteliğinin açıkça açıklanması.
2. Verilerin (bilgilerin) toplanması.
3. Toplanan verilerin (bilgilerin) dikkatle incelenmesi.
4. Genel-geçer bir sonucun doğru olduğunun düşünülmesi.
5. Sonucun bulunması (Genelleme yapılması).
· Matematiksel İndüksiyon Çeşitleri (Versiyonları)
Versiyon 1: 0Îx ve her n doğal sayısı için nÎx iken n+1Îx. Bundan dolayı her doğal sayı x’in elemanıdır.
Versiyon 2: Her n doğal sayısı ve bütün k
Prensip1 ve Prensip 2’nin benzer olduğu kolaylıkla görülür.(Dikkat edilmesi gereken, 0 N’deki prosedürlere sahip değildir. Bundan dolayı 0Îx için hipotez 2 bazı durumlarda sağlanır.) Prensip 1’den hareketle Prensip 3 sağlanır.
Doğal sayılar grubunun iyi sıralama ilkesinden yola çıkarak matematiksel indüksiyon prensiplerine bakalım. Her nÎN ve her k
Doğal Sayıların Bazı Alt Kümeleri:
Doğal Sayılar Kümesi, N={0,1,2,3,...,n,n+1,...}
Sayma Sayılar Kümesi, N={1,2,3,...,n,n+1,...}
Tek Doğal Sayılar Kümesi, T={1,3,5,...,2n-1,...}
Çift Doğal Sayılar Kümesi, Ç={2,4,6,...,2n,...}
Bir a doğal sayısı için, a ve a’dan büyük doğal sayıların kümesini Na ile gösterelim.
Na={ x: xÎN, x³a, aÎN } dir.
Na={ a,a+1,a+2,... } olur.
Örnek: N5= { 5,6,7,8,...}
· TÜMEVARIM YÖNTEMİ (2 hipotezden oluşur)
Teorem: aÎN ve DÌNa olmak üzere;
Hipotez 1. aÎD, Hipotez 2. kÎDŞ(k+1)ÎD ise D=Na olur. (Burada D, üzerinde çalıştığımız kümenin doğruluk kümesidir.)
İspat: D¹Na varsayalım (olmayana ergi) (T.M. 4. Evre). Bu durumda Na-D=D¢, D’¹Æ ve D’ÌNa olur. D’ÌNa ise, D’ kümesinin en küçük elemanı vardır. Bu elemana t diyelim. Bu durumda (t-1)ÏD’ ama (t-1)ÎNa’dır. Öyleyse (t-1)ÎD’dir. Çünkü başka bir ihtimal yoktur. T.M. 2. Hipotez gereğince [(t-1)+1]ÎD olmalı, yani tÎD olur. tÎD’ idi. tÎD ve tÎD’ bir çelişkidir. Yani varsayım yanlıştır. O halde D=Na’dır. Bu teoremde a=1 ise Na=N1=N olacağından D=N olur.
Örnek: 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların toplamı;
1+2+...+n=n(n+1)/2 olduğundan tümevarım ile gösterelim. Bu örnekte N da çalıştığımız için Na=N dır. Yani 1. Hipotez sağlandı. n=1 için; 1=1(1+1)/2=1, n=2 için; 1+2=2(2+1)/2=3.... Bu şekilde k’ya gittiğimizde 1+k+...+k=k(k+1)/2 olduğunu varsayalım. (T.M. 4. Evre) yani kÎD sağlandı. Hipotez 2 gereğince k+1ÎD olmalı.
O halde 1+2+...+k+k+1=k(k+1)/2+k+1 olur.
Eşitliğin sağ tarafı k(k+1)+2(k+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani;
1+2+...+k+k+1=(k+1)(k+2)/2 olur.
1+2+...+k=k(k+1)/2 eşitliğinin sağ tarafında k yerine k+1 yazdığımızda; 1+2+...+k+1=(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani hipotez 2 de sağlanır. Yani D=N olur. Yani hipotez doğrudur.
’’Eğer çok sayıda A çeşitli şartlar altında gözlemlenmiş ise ve eğer gözlemlenen tüm A’lar istisnasız B özelliğine sahip ise, o zaman A’lar B özelliğine sahiptir.’’ (Tümevarım ilkesi)
Bu ilke tümevarımın bilim üzerine inşa edildiği temel ilkedir. Tümevarım’ı bu ilke ile açıklıyoruz.
Tümevarım bir ispat yöntemidir. Bu yöntemde asıl olan parçadan bütüne ulaşmaktır. Yani parça için geçerli olan kesinlikle bütün için de geçerlidir.
· Tarihsel Yaklaşım
19. yy’ın ikinci yarısının en büyük Fransız matematikçisi Henri Poincare (1854-1912)’in matematiğin temelleri ile ilgili makaleleri vardır. Matematiksel düşünmenin gerçek aracının matematiksel indüksiyon (Tümevarım) olduğunu söylemiş ve bu yöntemin sezgisel olarak daha basit bir seviyeye indirilemeyeceğini söylemiştir.
Tümevarım sürecinde sonuca aşağıdaki evrelerden geçilerek ulaşılır (Tümevarım evreleri).
1. Sorunun niteliğinin açıkça açıklanması.
2. Verilerin (bilgilerin) toplanması.
3. Toplanan verilerin (bilgilerin) dikkatle incelenmesi.
4. Genel-geçer bir sonucun doğru olduğunun düşünülmesi.
5. Sonucun bulunması (Genelleme yapılması).
· Matematiksel İndüksiyon Çeşitleri (Versiyonları)
Versiyon 1: 0Îx ve her n doğal sayısı için nÎx iken n+1Îx. Bundan dolayı her doğal sayı x’in elemanıdır.
Versiyon 2: Her n doğal sayısı ve bütün k
Prensip1 ve Prensip 2’nin benzer olduğu kolaylıkla görülür.(Dikkat edilmesi gereken, 0 N’deki prosedürlere sahip değildir. Bundan dolayı 0Îx için hipotez 2 bazı durumlarda sağlanır.) Prensip 1’den hareketle Prensip 3 sağlanır.
Doğal sayılar grubunun iyi sıralama ilkesinden yola çıkarak matematiksel indüksiyon prensiplerine bakalım. Her nÎN ve her k
Doğal Sayıların Bazı Alt Kümeleri:
Doğal Sayılar Kümesi, N={0,1,2,3,...,n,n+1,...}
Sayma Sayılar Kümesi, N={1,2,3,...,n,n+1,...}
Tek Doğal Sayılar Kümesi, T={1,3,5,...,2n-1,...}
Çift Doğal Sayılar Kümesi, Ç={2,4,6,...,2n,...}
Bir a doğal sayısı için, a ve a’dan büyük doğal sayıların kümesini Na ile gösterelim.
Na={ x: xÎN, x³a, aÎN } dir.
Na={ a,a+1,a+2,... } olur.
Örnek: N5= { 5,6,7,8,...}
· TÜMEVARIM YÖNTEMİ (2 hipotezden oluşur)
Teorem: aÎN ve DÌNa olmak üzere;
Hipotez 1. aÎD, Hipotez 2. kÎDŞ(k+1)ÎD ise D=Na olur. (Burada D, üzerinde çalıştığımız kümenin doğruluk kümesidir.)
İspat: D¹Na varsayalım (olmayana ergi) (T.M. 4. Evre). Bu durumda Na-D=D¢, D’¹Æ ve D’ÌNa olur. D’ÌNa ise, D’ kümesinin en küçük elemanı vardır. Bu elemana t diyelim. Bu durumda (t-1)ÏD’ ama (t-1)ÎNa’dır. Öyleyse (t-1)ÎD’dir. Çünkü başka bir ihtimal yoktur. T.M. 2. Hipotez gereğince [(t-1)+1]ÎD olmalı, yani tÎD olur. tÎD’ idi. tÎD ve tÎD’ bir çelişkidir. Yani varsayım yanlıştır. O halde D=Na’dır. Bu teoremde a=1 ise Na=N1=N olacağından D=N olur.
Örnek: 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların toplamı;
1+2+...+n=n(n+1)/2 olduğundan tümevarım ile gösterelim. Bu örnekte N da çalıştığımız için Na=N dır. Yani 1. Hipotez sağlandı. n=1 için; 1=1(1+1)/2=1, n=2 için; 1+2=2(2+1)/2=3.... Bu şekilde k’ya gittiğimizde 1+k+...+k=k(k+1)/2 olduğunu varsayalım. (T.M. 4. Evre) yani kÎD sağlandı. Hipotez 2 gereğince k+1ÎD olmalı.
O halde 1+2+...+k+k+1=k(k+1)/2+k+1 olur.
Eşitliğin sağ tarafı k(k+1)+2(k+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani;
1+2+...+k+k+1=(k+1)(k+2)/2 olur.
1+2+...+k=k(k+1)/2 eşitliğinin sağ tarafında k yerine k+1 yazdığımızda; 1+2+...+k+1=(k+1)(k+1+1)/2=(k+1)(k+2)/2 olur. Yani hipotez 2 de sağlanır. Yani D=N olur. Yani hipotez doğrudur.
İSTATİSTİK
İstatistik Kelimesinin Anlamı
“İstatistik” ilk kez 18’ınci yüzyılda Almanya ‘da kullanılmaya başlanmıştır: İstatistik kelimesi sözü edilen yüzyıl başında devlet veya resmi kuruluşlar tarafından ülke hakkında toplanan bilgileri anlatmak için kullanılmıştır. İstatistiğe ilişkin en eski ve bügünde geçerli olan temel kavram sayımdır ve çok eski çağlarda insan ve mal sayımıyla ilgili örneklere rastlanılmıştır. Günümüzde “İstatistik” özellikle de “İstatistikler” kelimesi daha çok devlet veya resmi kuruluşlarca olmak üzere her türlü kuruluş tarafından bir ülkenin tamamı veya bir bölümü için toplanan bilgileri belirtmek için kullanılmaktadır.
Birçok garp dillerinde olduğu gibi dilimizde de “İstatistik” kelimesi daha çok iki anlamda kullanılmaktadır:
a) İstatistik veriler,
b) İstatistik bilimi.
İstatistik veri, sayı ile ifade edilen kollektif ve yaklaşık bilgiler olup istatistik kelimesi bu anlamda daima çoğul halde kullanılır. Eğitim istatistikleri, tarım istatistikleri, dış ticaret istatistikleri gibi.
İstatistik kelimesinin istatistik bilimi anlamı: yakın zamana gelmeye kadar istatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılıp sayılmaması gerektiği hakkında bir görüş birliğine varılamamıştı. Bir kısım bilginler istatistiği diğer bilimlerin araştırmalarında yararlandıkları metot ve tekniklerden ibaret saymakta idiler. Bazıları sadece istatistik metodelojisini bağımsız bir bilim kolu sayarak tatbiki istatistikleri birer metot olarak kabul etmenin doğru olacağı inancında idiler.
İstatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılmasına karşı olanların tezi şu şekilde özetlenebilir:
Kendisine özgü bir konusunun olmayışı. İstatistiğin kendisine özgü bir konusu yoktur.
Bir bilim kolunun bazı kanunlar ortaya çıkarması gerekir. İstatistiğin bulduğu bir kanun yoktur.
Bir bilim kolunun bütün için ortaya çıkardığı genel yargılar bütünü oluşturan kısımlar için de aynı derecede sağlam olduğu halde istatistikle bir yığın hakkında ortaya çıkarılan genel yargılar yığının kısımları veya birimleri hakkında bir anlam taşımamaktadır.
Bir bilim kolunun incelediği olay hakkında ulaştığı bir genel yargı zaman ve yer bakımından değerinden birşey kaybetmediği halde istatistiğin bulduğu genel yargılar sadece belli bir yerdeki ve belli bir zaman için belli bir yığın olayına ilişkindir.
İstatistiği başlı başına bir bilim kolu sayanların cevapları ise şu şekildedir:
a. Konu: İstatistik sadece yığın olaylarını inceler. Bunun için kendisine özgü bir konusu vardır.
b. Kanun: İstatistiğin ortaya koyduğu bir “Büyük Sayılar Kanunu” vardır. Bu kanun şu şekilde ifade edilir:
Gözlem sayısı arttıkça ana eğilimi pozitif ve negatif yönde sapmaya zorlayan geçici ve tesadüfi sebeplerin etkileri daha büyük ölçüde birbirini yok edecek yığın olayının ana eğilimi gerçeğe daha yakın olarak belirir. Başka bir deyişle gözlem sayısı arttıkça olay üzerinde pozitif yöndeki etkilerin negatif yöndeki etkilere oranı gittikçe 1’ e yaklaşır, Büyük Sayılar Kanunu her yığın olayı normal veya anormal koşullar altında aynı derecede geçerlidir.
c. Genel Yargılar: İstatistik yığın olaylarını inceler. Olayın bir özelliğinin belirtilmesi veya olay hakkında bir genel yargının ortaya konması için gözlem sayısının veya yığını oluşturan birim sayısının yeteri kadar büyük olması gerekir. Bu, büyük sayılar kanununun gereklerindendir.
d. Zaman ve yer: İstatistiğin ortaya koyduğu genel yargıların ancak belli bir yerde ve zamandaki bir yığın için doğru olup başka yer ve zamanlar için bir değer taşımadığı şeklindeki yargıda hatalıdır. Aynı nitelikte ve yeteri kadar büyüklükte alındığı taktirde bir yığın olayı için bulunan bir genel yargının zaman ve yer değişikliği ile değerinden birşey kaybetmediği görülür.
Sonuç olarak, istatistik bağımsız bir bilim kolu olarak yerini almış bulunmaktadır.
İstatistiğin Tanımı
19.yüzyılda Belçikalı İstatistikçi Quetelet 100’ü aşkın değişik istatistik tanımının varlığını ortaya koymuştur. 1896 yılında La Haye uluslar arası istatistik kongresinde. Alman istatistikçi Engel birbirinden farklı 180 tane istatistik tanımı belirlediğini ifade ederek adete istatistik tanımlarının istatistiğini yapmıştır.
Yapılan istatistik tanımlarından birkaçı aşağıdadır:
Yığın olaylarını inceleyen ve bunlara ilişkin genel bağıntıları belirtmeye çalışan bir bilimdir.
Çok sayıda dış etkene bağlı nesne, varlık ya da olayların sayısal dökümü yapılabilen özelliklerini, incelemeye yarayan bir teknik ya da yöntem kümesidir.
Yığın olayların belli amaçlarla gözlemlenmesi sonucu elde edilen verilerin sayısal biçimde işlenmesini sağlayarak, sözkonusu olayların oluşturduğu yığınların bilimsel bir şekilde incelenmesinde kullanılan teknik ve yöntemler bilimidir.
Çağdaş anlamda istatistik kısaca “Bilimsel karar ile bilimsel eyleme ışık tutan teknik” diye tanımlanabilir.
İstatistik Sözcüğünün Kökeni
“İstatistik” sözcüğünün İtalyanca’da devlet adamı anlamına gelen “statista” sözcüğünden alındığı ifade edildiği gibi, Latince de durum anlamına gelen “status” kökünden türetildiğine de inanılmaktadır. Yunanca’da gözlem için kullanılan “startizein” sözcüğünden kaynaklandığı inancında olanların yanında 15.yüzyılda İtalya’da devletin siyasal durumu anlamındaki “stato” kökünden kaynaklandığı görüşünde olanlar da vardır.
“İstatistik” sözcüğüyle ilgili olarak kesin bilinen, Alman bilimcilerin 18.yüzyıl başlarında devletin durumuyla ilgili sayısal bilgiler için ilk kez “Statistik” deyimini kullanmış olmalarıdır.
Türkiye’de Cumhuriyet döneminde yerleşmiş olan istatistik sözcüğüne karşılık olarak, Osmanlı İmparatorluğunda “ihsaiyat” deyimi kullanılmıştır.
İstatistik Kuramın Gelişmesi
i.) 17.yüzyıl ortalarında Alman Üniversitelerinde okutulan “Devlet Bilgisi” dersi ile başlangıç böylece devlet “status” sözcüğünden türüyen “istatistik” sözcüğünün ortaya çıkışı sayılara dayanmadan devletin betimlenmesi üzerinde duran bu okulun önde gelenleri Con ring, Archenwell, Schmeitzelldir ii) Daha sonra İngiltere’de ve kısmen Almanya’da ortaya çıkan “Sigorta Matematikçileri Okulu” önde gelenleri Graunt,Pethy,Halley,Süssmilch olan bu okul, dogum, ölüm gibi nüfus olaylarını sayısal verilere dayanarak çözümler. iii) Kökeni Pascal’da ,Galileo’da aransa da ”Büyük Sayılar Kanunu “ile gerçek öncülüğü Bernouilli’nin yaptığı olasılık hesabını geliştiren okul Bernouilli’yi de Moivre, Laplace, Lagendre, Gauss, Poisson, Bienayme izler. İv) Bu okulların düşüncelerini birleştirerek tümdengelimci istatistiğe, tümevarımcı istatsitiği katarak çözümlemeye ağırlık veren okul ve temelini atan Quetelet’dir. Ardından Galton, Pearson, Spearmann,Fisher ve daha inceleri gelir.v) Son olarak bu okullara başta Benzerci olmak üzere çok değişkenli çözümlemede betimsel istatisteğe yeni boyutlar kazandıran Fransız okuluda eklenebilir.
İstatistik Araştırmanın Amacı
Rastlantıyı göz önünde tutarak olayları belirleyen genel yasaları, genel eğilimi ortaya çıkarmak, ana nedenleri aramak, olaylar arasındaki ilişkileri bağlantıları bulmak, böylece türlü yönetim, bilim ve teknik dallarında yapılacak kestirimlere, öngörülere, alınacak kararlara, girişilecek eylemlere yardımcı olmaktır.
Günümüzde İstatistiğin Önemi
Günümüzde hükümetler politikalarını förmüle etmek ve aldıkları kararları desteklemek, politikacılarda halkı ikna etmek için istatsitikleri temel almaktadır. Tıbbı araştırmlarda hastaların teşhişinde ve yeni ilaçların yan etkilerinin ortaya kaonulmasında istatiksel teknikler kullanılmaktadır. Ekonomi, işletme ve kamu yönetiminde istatistiğin kullanılması son yarım yüzyıl içinde olaganüstü bir gelişme göstermiştir. İstatiksel yöntem sosyal bilimlerin bütün dallarında hemen hemen tek pratik çalışma aracı durumundadır.
iSTATİSTİK TABLOLAR
3
3.1 Tablo Tipleri. Verilerin istifadeye sunulmasında kullanılan çeşitli istatistik tablolar; genel tablolar ve analiz tabloları olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Genel tablolar, olay hakkında ayrıntılı ve tasviri bilgiler için düzenlenen tablolardır. Analiz tablolarında olay hakkında özet bilgilere yer verilerek önemsiz veriler ihmal edilir.
İstatistik tablolarda veriler belli bir sıraya göre yer alır. Verilerin sıralanması ihtiyaca göre şekil alır. Verilerin özel bir sıraya konması incelemeyi kolaylaştırır. Verilerin sayısı ne kadar çok olursa olsun tablo halinde istifadeye sunulmasında bir güçlük ortaya çıkarmaz. Bundan başka, çok sayıda dizilerin mukayesesi ancak tablo ile mümkündür.
3.2 Tablonun Kısımları. Birbirlerinden farklı çeşitli istatistik tablolar bulunmakla beraber bütün tablolarda şu kısımlar mutlaka yer alır: 1. Tablonun adı, 2.Başlık, 3.Ön sütun , 4. Gövde.Tablonun bu ana kısımları Tablo 1 de görülmektedir.
Tablonun Adı. Tablonun adı, tablodaki verilerin niteliğini, nereye ve ne zamana ilişkin olduğunu açıklamalıdır. Ancak, ad için çok uzun ifadelere kaçılması doğru olmaz. Gerekirse açıklıktan biraz fedekarlık yapılarak çok uzun olmayan bir ifade tercih edilir.
Başlık, Sütunlardaki maddelerin ve verilerin niteliğini gösterir, ifadelerdir. Başlığa, sütun adı da diyebiliriz.
Ön Sütun. Tablonun en solundaki sütununa ön sütun denir. Ön sütunda, belli bir sıra altında maddeler veya vasıflara ilişkin sınıflar yer alır.
Tablo 1
Sayım Yılları İtibariyle Bazı Şehirlerimizin 1
Nüfusları,1927-1970
(D.İ.E.1 İstatistik Yıllığı 1968 Sahife 32) 1000 olarak
2
Yıllar
İstanbul
Ankara
İzmir
Adana
Bursa
Gaziantep
Eskişehir
Konya
1927
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
19722
691
741
794
861
983
1269
1467
1743
2248
75
123
157
227
289
451
650
906
1209
154
171
184
198
228
297
361
412
521
73
76
88
101
118
169
232
290
352
62
72
78
86
104
129
154
212
276
40
51
57
63
72
97
124
160
216
32
47
61
80
90
120
153
174
201
47
52
56
58
64
92
120
158
226
D.İ.E = Devlet İstatistik Enstitüsü
Geçici verilerdir.
Gövde. Tablonun başlık ile ön sütunu tarafından çevrelenen kısmıdır. Gövde verilerin yer aldığı ve satır sayısı ile sütun sayısının bir eksiğinin çarpımı kadar verinin yazılabileceği yer bulunan kısmıdır. Bunlardan bazılarının boş kalması veya hepsinin dolu olması mümkündür.
3.3 Tablo Düzenlenirken Göz Önünde Tutulması Gerekli Bazı Noktalar.
Bir istatistik tablosu düzenlenirken aşağıdaki noktaların göz önünde tutulması faydalı olur:
Basitlik. İstatistik tablolar mümkün olduğu kadar basit olmalıdır. Basit tablo, ön sütun ve başlıkta yalnız bir vasfın sınıflarının yer aldığı tablodur. 1 sayılı tablo basit ve 2 sayılı tablo ise bileşik bir tabloya örnek olabilir. Özellikle istatistik bilgisi sınırlı olan kimselerin yararlanması için düzenlenen tablolarda basitlik önemle ele alınacak bir noktadır. Karışık tablolara gidildikçe gereken faydanın sağlanması güçleşir.
Kaynak. Kitap broşür ve diğer benzeri yayınlardaki istatistik tablolarda yer alan veriler, çok kez, yayımı yapanın uyguladığı bir metotla elde ettiği bilgiler değildir.
Başka kuurmların elde ettiği veriler aynen bazı işlemlere tabi tutularak alınabilir. Bu gibi hallerde verilerin kaynağı hakkında açık bilgi verilmelidir. Çünkü, bu verileri kullanacak olanlar onların ne çeşit bir metotla elde edildiği, doğruluk dereceleri, kavramlar için kullanılan tarif ve açıklamalar ve benzeri diğer hususlar hakkında bazı bilgilere ihtiyaç duyabilirler. Bu gibi hususlar hakkında yeterli bilgi edeinmeden verilerden gerektiği şekilde faydalanmak mümkün olmaz. Bunun için, kaynakla ilgili olarak, yayımı yapanın adı, yayının adı, aktarılan verilerin bulunduğu sayfa numarası veya tablo numarası, yayım yeri ve tarihi açıklanır.
Kaynak hakkında verilen açıklama, kısa olmak şartiyle, tablonun adının altına yazılır (Tablo 1). Açıklama uzun olduğu takdirde dipnot yerine veya tablonun uygun bir aşka yerine yazılır.
Tablonun şekli ve büyüklüğü. Bir istatistik tablosunun şekli ve büyüklüğü şu faktörlere göre belirir:
1. Tablonun yer alacağı yayının sayfa büyüklüğü. Bir tablonun şekli ve büyüklüğü, her şeyden önce, yer alacağı yayına uygun olmalıdır.
2. Sütun sayısı ve genişlikleri. Tablonun genişliği sütun sayısı ve genişlikleri ile belirir. Geniş tablolar, incelemeyi zorlaştırdığı için, tercih edilmemelidir. Özellikle satır aralıları küçük olan geniş tablolarda sağdaki sütunlarda yer alan bir verinin hangi sınıf veya maddeye ilişkin olduğunun anlaşılması zorlaşır. Geniş bir tablo düzenlemek zorunda kalındığı takdirde ön sütundaki maddelerin,aynı sıraya göre son sütunda da gösterilmesi incelemeyi kolaylaştırır (Tablo 3).
Bazı hallerde verilerin bin veya milyon olarak alınması, ihtiyacın karşılanması bakımından, sakıncalı sayılmaz. Böylelikle tablo genişliğinden önemli bir tasarruf sağlanır (Tablo 3).
3. Satır sayısı. Bir tablonun uzunluğu, ön sütunda yer alan madde veya değer sınıfı sayısına göre belirir. Madde veya sınıf sayısı, bazı hallerde, bir sayfaya sığmayacak kadar çok olabilir. Bu taktirde tablo birden fazla sayfa kapsar (Tablo 58). Tablonun boyunun uzaması veya birden fazla sayfa kapsaması genişliğinin artmasından daha az sakıncalıdır.
Bununla beraber tablonun mümkün olduğu kadar kısa olamasına çalışılır. Özellikle madde sayısı çok olan( ayrıntılı meslek veya faaliyet kollarına göre nufüs, maddelere göre ithalat veya ihracat tablolarında olduğu gibi) bir tabloda satır aralıkları dar tutulur. Ancak, sütun sayısı çoğaldıkça satır hizalarını seçmek zorlaşacağınadan her 5 veya 10 sık satırdan sonra satır aralığının genişletilmesi ile bu sakınca azaltılır.
İstatistik tablolarda, satır çizgisi kullanılmaz. Sadece, toplamlar iki çizgi arasında gösterilebilir. Toplamlar.genellikle, tablonun altında gösterilmekle beraber bazen birinci satıra alınarak altına bir satır çizilir.
Tablo numarası. Özellikle, bir yayında fazla sayıda tablo bulunursa bunlara bir sıra numarası verilmesi uygun olur. Aksi taktirde, metinde zaman zaman söz konusu edilecek tabloların uzun adlarının tekrarlanması zorunda kalınması, psikolojik yönden önemli bir sakıncadır.
Kısaltmalar ve denden( “ “) işaretleri. Tablolarda kısaltmalardan kaçınılmalıdır. Tabloyu düzenliyen kimse için anlamı pek belli olan bir kısaltma, tablodan faydalanması beklenen kimselerden çoğunun anlayamadığı bir kısaltma niteliğinde olabilir. Aynı ifade veya verilerin alt alta gelmesi halinde(“ “)işaretleri kullanışamyıp ifade veya veriler aynen tekrarlanarak yanlış anlamlara yol açılması önlenir.
Önemli maddelerin belirtilmesi. Özellikle analiz tablolarında, önemli verilerin göze çarpacak şekilde gösterilmesi uygun olur. Bunun için aşağıdaki iki yoldan faydalanılır:
a. Önemli sayılan verilere gövdenin sol ve üst tarafında yer verilir. Toplamlar önemli sayılıyorsa birinci satıra yazılır.
b. Önemli sayılan veriler diğerlerinden daha koyu mürekkeple yazılmak suretiyle göze çarptırılır. Mümkün olduğu takdirde değişik renklerden de faydalanılabilir.
Mukayese kolaylığı. Tabloda birbirleriyle mukayese edilecek veriler bulunduğu taktirde verilerin bu işi kolaylaştıracak şekilde tabloda yer alması gerekir. Bu bakımdan, aşağıdaki hususlara dikkat edilmesi faydalı olur:
Alt alta olan verilerin mukayesesi, yan yana olanlarınkinden daha kolaydır.
İki veya daha fazla dizinin mukayesesi yan yana gelen sütunlarda daha kolay olur. Dizilerin alt alta satırlar şeklinde bulunması mukayeseyi zorlaştırır.
İster aynı satırda, ister aynı sütunda bulunsun, mukayese edilecek veriler bir birinden uzaklaştıkça mukayese zorlaşır.
Ölçü bitrimleri. Bir tablodaki bütün veriler aynı ölçü birimi ile ölçülen değerler niteliğinde iseler ölçü birimi, başlıklar üst çizgisinin üzerinde uygun bir yerde açıkalnhır. Bir sütundaki veriler aynı ölçü birimini haiz, fakat sütundan sütuna ölçü birimi değişiyorsa ölçü biriminin niteliği başlıkta açıklanır( Tablo 10). Nihayet, ölçü birimleri sütunlara göre değil satırlara göre değişiklik gösteriyorsa ön sütunda madde adından hemen sonra ölçü biriminin adı yazılır.
Verilerin yuvarlaklaştırılması. Orijinal veriler çok büyük, fakat ihtiyaç bakımından birler basamağına kadar gösterilmesi lüzumsuz ise veriler bin veya milyon olarak tabloya alınır( Tablo 2). Gerçi bu ikisi arasında diğer yuvarlak değerler de (10, 100, 1000 gibi) seçilebilirse de uygulamalarda daha çok bin veya milyon tercih edilmektedir. Bir çok hallerde de veriler mesela, yüzbin cinsinden gösterilmek istense bile bunun yerine milyon cinsinden, fakat , bir basamak kesirli alınması daha pratik sayılır. Verilerin bin veya milyon cinsinden anlaşılması 100, 1000 veya bir başka yuvarlak değer cinsinden anlaşılmasından daha kolaydır. Veriler, genellikle, yaklaşık değerler olduğundan bazı hallerde birler basamağına veya kesirlerine kadar gösterilmesi gülünç olur.
Verilerin yuvarlaklaştırılması bazı hatalara yol açar. Ancak her madde veya sınıf için yapılan pozitif veya negatif yöndeki hatalar kısmen bir birini yok edeceklerinden yuvarlak değerlerden hesaplanan toplam, ortalama, nispet ve benzeri diğer değerlerin hatası nispeten küçük olur. Genellikle, sınıf veya madde sayısı arttıkça verilerin yuvarlaklaştırılması ile bunlar dayanarak hesaplanan istatistiklerin bu yüzden taşıyacakları hata payı küçülür. Bununla beraber, varsa toplam ortalama ve benzeri istatistiklerin orijinal veriler yuvarlaklaştırılırken 0,5 den büyük kesirler 1 birim sayılır ve 0,5 küçükler atılır. Tam 0,5 olan kesirli değerler için kesirden önceki rakam tek ise 1 birim çift ise sıfır birim kabul edilmek suretiyle hata azaltılır.
Tablolarda Kullanılan İşaretler. Tablolarda bazı ortak işaretler kullanılır. İşaretlerde uluslar arası bir uygulama için çalışılmaktadır. Bir çok kimseler buna uymakta iseler de ortak işaretler dikkate alınmadan düzenlenen bir çok tablolara da hala rastlanmaktadır. Birleşmiş Milletler İstatistik Şubesi üye memleketlere, tablolarda çeşitli maksatlar için aşağıdaki işaretlerin kullanılmasını tavsiye etmektedir:
(.) Söz konusu değil. Örneğin, yaşa göre medeni hale ilişkin tablolarda evlenme çağının altındaki nüfus için (.) işareti kullanılır.
(...) Veriler elde edilmedi.
( -) Madde veya sınıfın değeri sıfır.
(0,0) Değer, kullanılan birimin yarısından küçük .
Bütün istatistik tablolarda aynı kavram için aynı işaretlerin kullanılması ile tablolardan daha kolay yararlanma imkanı sağlanır. İşaretlerin ne anlamda kullanıldığının, yayının uygun bir yerinden açıklanması gerekir.
3.4 Verilerin Sıralanması. Tablolarda, verilerin bazı esaslara göre bir düzen altında yer aldığına işaret etmiştik. Veriler için uygulanan bir çok sıralama şekilleri vardır. İhtiyacı en iyi karşılayan veya olayın niteliğine en uygun sıralama seçilir. Başlıca sıralama türleri şunlardır:
Büyüklük. İncelemeyi kolaylaştırmak için, çok kez, kantatif vasıflar ilişkin bireysel değerler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıraya konarak bir sıralı dizi haline getirilir. Veya çokluk bölünümlerinde belli değer sınıflarına göre gruplara ayrılır. Bunun sonucu olarak veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru değer sınıflarına göre sıralanmış olur. En çok analiz tablolarında kullanılan bu sıralama şekli olayın zaman içindeki akımının önemli sayıldığı hallerde uygulanamaz.
İstatistiğin Faydaları
İstatistik metodlarının iki fonksiyonu vardır: Birincisi
Bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak. İkincisi
Bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı
Olmak.
İstatistiğin Uygulama Alanları
Çağımızda sayısal bilgi toplanabilen her araştırma alanında istatistik yöntemler kullanılır:Toplumsal olayların gelişimi, davranış psikolojisi, otomatik üretim süreçleri, bilgisayarlar gibi büyük teknik sistemlerinin yönetimi, jeolojik süreçler, gazlardaki karmaşık olgular, sinir sisteminin işlevleri, beynin yansıtıcı ve yönlendirici çalışmaları istatistik yöntemlere başvurulmadan incelenemezler. Biyoloji,antropoloji, sosyoloji, psikoloji, iktisat, işletme, tıp, kuantum fiziği, biyolojik vb.... özetle tüm bilim dalları, yöntem kuruluşları, teknoloji, iş ve piyasa araştırmalarında istatistikten yararlanılır.
Örnek verecek olursak
Kamu Hizmetlerinin Görülmesinde İstatistiğin Rolü
Mesela; Milli Eğitim politikasının gerektirdiği şekilde planlanıp en yararlı bir şekilde uygulanabilmesi için gelecek yıllarda ilk, orta ve yüksek tahsil çağında bulunan kimselerin sayılarının bilinmesinin, bunlara tahsil imkanı sağlanabilmesi için ne kadar öğretmene, okula ve eğitim-öğretim araçlarına ihtiyaç olduğunun belirlenmesinde kullanılır.
Bilimsel Araştırmalarda İstatistiğin Rolü
Bilimsel araştırmalarda istatistik önemli bir rol oynamaktadır. Özellikle, deneysel araştırmalarda, bir hipotezin kabule değer olup olmadığının belirtilmesi ve araştırma sonuçlarının objektif olarak yorumu ancak modern istatistik metotlarına dayanmak suretiyle mümkündür. İst. Metoduna dayanmayan araştırmalar va bunlarla ulaşılan sonuçlar bilimsel sayılmamaktadır.
BÖLÜM :1
PSİKOLOJİDE İSTATİSTİK
İstatistik teorisi uygulamalı matematiğin bir parçasıdır. O halde istatistik teorisi, psikoloji disiplininin içinde değildir. Bununla birlikte, modern psikolog, istatistik teorisinin hiç değilse temel bilgilerini bilmeyi faydalı bulur. İstatistik öğrenme, psikoloji alanında yetişmenin vazgeçilmez bir parçasıdır. İstatistik teorisi, modern psikoloji araştırmalarıyla şöyle bir tanışıklık isteyen birisi için bile faydalıdır. Psikolojide, başkalarının araştırmalarını anlamak ve değerlendirmek açısından olduğu kadar, kendi araştırma bulgularının sonuçlarını bildirmek ve yorumlamak açısından da istatistik bilmek önemlidir. İstatistik bilgisi, psikoloğa, fiilen gözlediği verilerin ötesine ne ölçüde geçebileceğini değerlendirmek için birtakım analiz aletleri kazandırır.
BETİMSEL İSTATİSTİK
Sokaktaki adam bir istatistikden(istatistik değerden) söz ederken, bir durumu betimleyen bir sayıyı kasteder. İstanbul caddelerinde bir günde meydana gelen trafik kazalarının ortalama sayısı işte bu anlamda bir istatistiktir(istatistik değerdir). Mart 1990’da Türk Ordusundaki asker sayısı bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Üniversite öğrencilerinin ortalama mezuniyet yaşı yerine bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Bir istatistik (istatistik değer) şu veya bu şeyin sayısal durumunu betimler.
İstatistik teorisinin büyük ve önemli bir kısmı, sayısal veri topluluklarını betimlemekle uğraşır. En faydalı olmak ve en kolay bildirilmek için, bir veri topluluğunun toparlanması ve özetleme biçimleridir. Betimsel istatistik teorisi,verileri betimlenin çeşitli biçimlerindeki bilgi ile ve verileri çeşitli biçimlerde sunmanın göreceli verimliliği ile uğraşır.
Örneğin, bir psikolog, bir grup spor yapan erkek lise öğrencisinin ve bir grup spor yapmayan erkek lise öğrencisinin mesleki amaç ve ilgilerini karşılaştırmak isteyebilir. Bununla ilişkili verileri toplayınca, iki grubun herbirini nasıl betimleyeceğine karar vermelidir. Çok büyük miktarda potansiyel bilgi, grupların bir bütün olarak kolayca kavranabilir birkaç özelliği içine sıkıştırılmak zorundadır. Ondan sonra, psikolog, grupların nasıl karşılaştırılacağı meselesiyle uğraşmalıdır. Karşılaştırmanın esası ne olacaktır? Eğer gruplar arasında farklar varsa, bu farklar en açık bir şekilde nasıl gösterilecektir? Gruplar arasında şu veya bu tarzda sayısal karşılaştırmalar yapılmalı mı? Veriler grafikle mi en iyi sunulabilir? Spor yapan bir erkek lise öğrencisinin tipik ilgi örgüsü bulunabilir ve spor yapmayan tipik bir erkek lise öğrencisinin farklılığı gösterilebilir mi? Bütün bu sorular betimsel istatistik göstergelerinin seçilmesi ve kullanılması ile ilgili sorulardır.
Bundan sonraki iki bölümde esas itibarıyla, en çok kullanılan betimsel istatistik göstergelerle uğraşacağız. Verilerin hem grafik hem sayısal özetlenmeleri üzerinde duracağız. Ancak şunu da eklemek gerekir ki bu metodlar, başvurulması mümkün betimsel tekniklerden seçilmiş sadece birkaç tanesidir;veri,lerin farklı amaçlarla toparlanması ve bildirilmesi için çok çeşitli istatistik teknikler geliştirilmiştir. Burada ana çizgileriyle verilen teknikler, sırf çok karşılaşıldıkları için değil, aynı zamanda, daha genel matematiksel istatistik teorisinde merkezi roller oynadıkları için seçilmiştir.
MUHAKEME İSTATİSTİĞİ
Betimsel istatistiğin incelenmesi, veriler hakkında bildirimde bulunmak için bir dil kazandırır. Betimsel istatistik daima, bir deneyicinin topladığı belirli veri topluluğu ile uğraşır. Betimsel istatistiği kullanmada deneycinin görevi, o verilerin gösterdiği şeyi yakalamak ve bildirmektir.
Bunu yapınca deneycinin ilgisi sona ermez. Bir bilim adamı olarak deneyci, doğadaki ve davranıştaki düzenlilikleri bulmaya ilgi duyar. Bu düzenliliklerden genel prensiplere- bundan sonraki gözlemlerin sonucunu önceden kestirmeye imkan veren prensiplere- ulaşmayı ümit eder.
Bilim adamı, koşulan şartların var olduğu her zaman geçerli olması beklenebilecek genel ilişkileri arar. Bu ilişkiler, etrafımızdaki dünya gözlenerek keşfedilir ve doğrulanır.
Öte yandan , hiçbir ölümlü bilim adamı, genel bir sonuç çıkarmak istediği olayların hepsini asla gözleyemez. Genel sonuca, sınırlı sayıda gözlemlere dayanarak varmak zorundadır. Bilim adamı, gözlediği özel şeylerden genel bir sonuca ilerler. Özelden genele gitme süreci tümevarım olarak bilinir. İşaret etmek gerekir ki özel gözlemlerden genelleme süreci çok riskli olabilir. Bilim adamının yaptığı herbir gözlem, bilim adamına, o tür gözlemlerin hepsini yapabildiği takdirde elde edeceği izlenimlerden farklı bir izlenim verebilir.
Ancak sınırlı sayıda gözlemler yapma zorunluluğu ile yüzyüze kalan bilim adamı, gerçek veya uzun vadedeki durumun niteliği hakkında ancak bir tahmin olarak genel sonuçlara varabilir. Gözlemlerine dayanarak bir çeşit genel sonuca ulaşabildiği zaman bile bilim adamı,haklı olduğundan emin değildir, şu veya bu derecede kayıtsızlık duyar.
İste bu noktada istatistik, bilim adamının çalışmasına en değerli ve enteresan katkılarından birini yapar. Muhakame istatistiği teorisi, özel kanıtlardan genel sonuçlara varmak için metodlar sağlar. Bu teori, bilim adamlarına, belirli bir veri toplululuğuna dayanarak ne gibi kararlar vermesi gerektiğini söylemez. Ama sonuçlara ulaşmada işe yarar yolların seçimi hususunda deneyciye rehberlik eder. Bunun da ötesinde, istatistik teorisi, olasılık teorisinden yararlanarak bilim adamına, bir veri topluluğundan belirli bir sonuca varırken girdiği riski hesaplama imkanını verir.
Her ne kadar bu kitapta, muhakeme istatistiği teorisine ancak kısaca değinilecekse de, öğrenci, psikologların ve başka bilim adamlarının, verilere dayanarak istatistik tahminler yapma yolları hakkında bir miktar bilgi edinecektir. Bu bilgiyi edinebilmek için öğrencinin, basit şekliyle olasılık teorisiyle biraz tanışıklığı olmalıdır. Bunun için, kitabın 4 . bölümü öğrenciyi temel olasılık kavramlarıyla tanıştırmak için düzenlenmiştir. Bu kavramlar, sonraki bölümlerde tartışılan muhakeme metodlarının temelini oluşturacaktır.
İSTATİSTİĞİN FAYDALARI
İstatistik metodların, psikoloğun çalışmasına sadece bir ilaveden başka bir şey olamdığını, psikoloji öğrencisi daha ilk baştan anlamalıdır. Yukarıda söylendiği gibi, istatistik metodların iki fonksiyonu vardır: Birincisi, bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak ve ikincisi, bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı olmak. Böyle olmakla birlikte, yaptığı deneyin ve topladığı verilerin gerçek değerinin, bilim adamının kullandığı istatistik aletlerle hiçibir ilgisi yoktur. Bir istatistik metodun uygulanması, fena bir deneyi iyi bir deneye dönüştüremez. Şunun ve şunun doğru olduğuna verilerin bizi inandırma gücü, deneyin kritik bir tarzda düzenlenmiş olmasından ve bir bütün olarak mantığından ileri gelmez. Araştırmaya yeni başlayanların bunu hatırdan çıkarmaması özellikle önemlidir. Öte yandan, iyi tasarlanmış ve yapılmış bir deneyde istatistik Metodlar, deneyin anlamını açıklığa kavuşturmada ve varılan sonuçların genelleştirmeye elverişli olduğunu göstermede son derece yardımcı olabilir.
İstatisitiğin uygulamaları bütün araştırma alanlarında, fizik bilimlerde, biyolojik bilimlerde, mühendislikte, iş ve piyasa araştırmalarında ve başka alanlarda görülür. Farklı alanlarda fiilen kullanılan metodlar farklılıklar gösterse de, bu metodların hepsi aynı temel istatistik teorisine dayanır. Bundan sonraki bölümlerde birtakım istatistik metodlar ana çizgileriyle verilecektir. Bu metodlar iki anlamda temeldir. Birinci olarak, bu metodlar psikolog Kelimesinin Anlamı
“İstatistik” ilk kez 18’ınci yüzyılda Almanya ‘da kullanılmaya başlanmıştır: İstatistik kelimesi sözü edilen yüzyıl başında devlet veya resmi kuruluşlar tarafından ülke hakkında toplanan bilgileri anlatmak için kullanılmıştır. İstatistiğe ilişkin en eski ve bügünde geçerli olan temel kavram sayımdır ve çok eski çağlarda insan ve mal sayımıyla ilgili örneklere rastlanılmıştır. Günümüzde “İstatistik” özellikle de “İstatistikler” kelimesi daha çok devlet veya resmi kuruluşlarca olmak üzere her türlü kuruluş tarafından bir ülkenin tamamı veya bir bölümü için toplanan bilgileri belirtmek için kullanılmaktadır.
Birçok garp dillerinde olduğu gibi dilimizde de “İstatistik” kelimesi daha çok iki anlamda kullanılmaktadır:
a) İstatistik veriler,
b) İstatistik bilimi.
İstatistik veri, sayı ile ifade edilen kollektif ve yaklaşık bilgiler olup istatistik kelimesi bu anlamda daima çoğul halde kullanılır. Eğitim istatistikleri, tarım istatistikleri, dış ticaret istatistikleri gibi.
İstatistik kelimesinin istatistik bilimi anlamı: yakın zamana gelmeye kadar istatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılıp sayılmaması gerektiği hakkında bir görüş birliğine varılamamıştı. Bir kısım bilginler istatistiği diğer bilimlerin araştırmalarında yararlandıkları metot ve tekniklerden ibaret saymakta idiler. Bazıları sadece istatistik metodelojisini bağımsız bir bilim kolu sayarak tatbiki istatistikleri birer metot olarak kabul etmenin doğru olacağı inancında idiler.
İstatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılmasına karşı olanların tezi şu şekilde özetlenebilir:
Kendisine özgü bir konusunun olmayışı. İstatistiğin kendisine özgü bir konusu yoktur.
Bir bilim kolunun bazı kanunlar ortaya çıkarması gerekir. İstatistiğin bulduğu bir kanun yoktur.
Bir bilim kolunun bütün için ortaya çıkardığı genel yargılar bütünü oluşturan kısımlar için de aynı derecede sağlam olduğu halde istatistikle bir yığın hakkında ortaya çıkarılan genel yargılar yığının kısımları veya birimleri hakkında bir anlam taşımamaktadır.
Bir bilim kolunun incelediği olay hakkında ulaştığı bir genel yargı zaman ve yer bakımından değerinden birşey kaybetmediği halde istatistiğin bulduğu genel yargılar sadece belli bir yerdeki ve belli bir zaman için belli bir yığın olayına ilişkindir.
İstatistiği başlı başına bir bilim kolu sayanların cevapları ise şu şekildedir:
a. Konu: İstatistik sadece yığın olaylarını inceler. Bunun için kendisine özgü bir konusu vardır.
b. Kanun: İstatistiğin ortaya koyduğu bir “Büyük Sayılar Kanunu” vardır. Bu kanun şu şekilde ifade edilir:
Gözlem sayısı arttıkça ana eğilimi pozitif ve negatif yönde sapmaya zorlayan geçici ve tesadüfi sebeplerin etkileri daha büyük ölçüde birbirini yok edecek yığın olayının ana eğilimi gerçeğe daha yakın olarak belirir. Başka bir deyişle gözlem sayısı arttıkça olay üzerinde pozitif yöndeki etkilerin negatif yöndeki etkilere oranı gittikçe 1’ e yaklaşır, Büyük Sayılar Kanunu her yığın olayı normal veya anormal koşullar altında aynı derecede geçerlidir.
c. Genel Yargılar: İstatistik yığın olaylarını inceler. Olayın bir özelliğinin belirtilmesi veya olay hakkında bir genel yargının ortaya konması için gözlem sayısının veya yığını oluşturan birim sayısının yeteri kadar büyük olması gerekir. Bu, büyük sayılar kanununun gereklerindendir.
d. Zaman ve yer: İstatistiğin ortaya koyduğu genel yargıların ancak belli bir yerde ve zamandaki bir yığın için doğru olup başka yer ve zamanlar için bir değer taşımadığı şeklindeki yargıda hatalıdır. Aynı nitelikte ve yeteri kadar büyüklükte alındığı taktirde bir yığın olayı için bulunan bir genel yargının zaman ve yer değişikliği ile değerinden birşey kaybetmediği görülür.
Sonuç olarak, istatistik bağımsız bir bilim kolu olarak yerini almış bulunmaktadır.
İstatistiğin Tanımı
19.yüzyılda Belçikalı İstatistikçi Quetelet 100’ü aşkın değişik istatistik tanımının varlığını ortaya koymuştur. 1896 yılında La Haye uluslar arası istatistik kongresinde. Alman istatistikçi Engel birbirinden farklı 180 tane istatistik tanımı belirlediğini ifade ederek adete istatistik tanımlarının istatistiğini yapmıştır.
Yapılan istatistik tanımlarından birkaçı aşağıdadır:
Yığın olaylarını inceleyen ve bunlara ilişkin genel bağıntıları belirtmeye çalışan bir bilimdir.
Çok sayıda dış etkene bağlı nesne, varlık ya da olayların sayısal dökümü yapılabilen özelliklerini, incelemeye yarayan bir teknik ya da yöntem kümesidir.
Yığın olayların belli amaçlarla gözlemlenmesi sonucu elde edilen verilerin sayısal biçimde işlenmesini sağlayarak, sözkonusu olayların oluşturduğu yığınların bilimsel bir şekilde incelenmesinde kullanılan teknik ve yöntemler bilimidir.
Çağdaş anlamda istatistik kısaca “Bilimsel karar ile bilimsel eyleme ışık tutan teknik” diye tanımlanabilir.
İstatistik Sözcüğünün Kökeni
“İstatistik” sözcüğünün İtalyanca’da devlet adamı anlamına gelen “statista” sözcüğünden alındığı ifade edildiği gibi, Latince de durum anlamına gelen “status” kökünden türetildiğine de inanılmaktadır. Yunanca’da gözlem için kullanılan “startizein” sözcüğünden kaynaklandığı inancında olanların yanında 15.yüzyılda İtalya’da devletin siyasal durumu anlamındaki “stato” kökünden kaynaklandığı görüşünde olanlar da vardır.
“İstatistik” sözcüğüyle ilgili olarak kesin bilinen, Alman bilimcilerin 18.yüzyıl başlarında devletin durumuyla ilgili sayısal bilgiler için ilk kez “Statistik” deyimini kullanmış olmalarıdır.
Türkiye’de Cumhuriyet döneminde yerleşmiş olan istatistik sözcüğüne karşılık olarak, Osmanlı İmparatorluğunda “ihsaiyat” deyimi kullanılmıştır.
İstatistik Kuramın Gelişmesi
i.) 17.yüzyıl ortalarında Alman Üniversitelerinde okutulan “Devlet Bilgisi” dersi ile başlangıç böylece devlet “status” sözcüğünden türüyen “istatistik” sözcüğünün ortaya çıkışı sayılara dayanmadan devletin betimlenmesi üzerinde duran bu okulun önde gelenleri Con ring, Archenwell, Schmeitzelldir ii) Daha sonra İngiltere’de ve kısmen Almanya’da ortaya çıkan “Sigorta Matematikçileri Okulu” önde gelenleri Graunt,Pethy,Halley,Süssmilch olan bu okul, dogum, ölüm gibi nüfus olaylarını sayısal verilere dayanarak çözümler. iii) Kökeni Pascal’da ,Galileo’da aransa da ”Büyük Sayılar Kanunu “ile gerçek öncülüğü Bernouilli’nin yaptığı olasılık hesabını geliştiren okul Bernouilli’yi de Moivre, Laplace, Lagendre, Gauss, Poisson, Bienayme izler. İv) Bu okulların düşüncelerini birleştirerek tümdengelimci istatistiğe, tümevarımcı istatsitiği katarak çözümlemeye ağırlık veren okul ve temelini atan Quetelet’dir. Ardından Galton, Pearson, Spearmann,Fisher ve daha inceleri gelir.v) Son olarak bu okullara başta Benzerci olmak üzere çok değişkenli çözümlemede betimsel istatisteğe yeni boyutlar kazandıran Fransız okuluda eklenebilir.
İstatistik Araştırmanın Amacı
Rastlantıyı göz önünde tutarak olayları belirleyen genel yasaları, genel eğilimi ortaya çıkarmak, ana nedenleri aramak, olaylar arasındaki ilişkileri bağlantıları bulmak, böylece türlü yönetim, bilim ve teknik dallarında yapılacak kestirimlere, öngörülere, alınacak kararlara, girişilecek eylemlere yardımcı olmaktır.
Günümüzde İstatistiğin Önemi
Günümüzde hükümetler politikalarını förmüle etmek ve aldıkları kararları desteklemek, politikacılarda halkı ikna etmek için istatsitikleri temel almaktadır. Tıbbı araştırmlarda hastaların teşhişinde ve yeni ilaçların yan etkilerinin ortaya kaonulmasında istatiksel teknikler kullanılmaktadır. Ekonomi, işletme ve kamu yönetiminde istatistiğin kullanılması son yarım yüzyıl içinde olaganüstü bir gelişme göstermiştir. İstatiksel yöntem sosyal bilimlerin bütün dallarında hemen hemen tek pratik çalışma aracı durumundadır.
iSTATİSTİK TABLOLAR
3
3.1 Tablo Tipleri. Verilerin istifadeye sunulmasında kullanılan çeşitli istatistik tablolar; genel tablolar ve analiz tabloları olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Genel tablolar, olay hakkında ayrıntılı ve tasviri bilgiler için düzenlenen tablolardır. Analiz tablolarında olay hakkında özet bilgilere yer verilerek önemsiz veriler ihmal edilir.
İstatistik tablolarda veriler belli bir sıraya göre yer alır. Verilerin sıralanması ihtiyaca göre şekil alır. Verilerin özel bir sıraya konması incelemeyi kolaylaştırır. Verilerin sayısı ne kadar çok olursa olsun tablo halinde istifadeye sunulmasında bir güçlük ortaya çıkarmaz. Bundan başka, çok sayıda dizilerin mukayesesi ancak tablo ile mümkündür.
3.2 Tablonun Kısımları. Birbirlerinden farklı çeşitli istatistik tablolar bulunmakla beraber bütün tablolarda şu kısımlar mutlaka yer alır: 1. Tablonun adı, 2.Başlık, 3.Ön sütun , 4. Gövde.Tablonun bu ana kısımları Tablo 1 de görülmektedir.
Tablonun Adı. Tablonun adı, tablodaki verilerin niteliğini, nereye ve ne zamana ilişkin olduğunu açıklamalıdır. Ancak, ad için çok uzun ifadelere kaçılması doğru olmaz. Gerekirse açıklıktan biraz fedekarlık yapılarak çok uzun olmayan bir ifade tercih edilir.
Başlık, Sütunlardaki maddelerin ve verilerin niteliğini gösterir, ifadelerdir. Başlığa, sütun adı da diyebiliriz.
Ön Sütun. Tablonun en solundaki sütununa ön sütun denir. Ön sütunda, belli bir sıra altında maddeler veya vasıflara ilişkin sınıflar yer alır.
Tablo 1
Sayım Yılları İtibariyle Bazı Şehirlerimizin 1
Nüfusları,1927-1970
(D.İ.E.1 İstatistik Yıllığı 1968 Sahife 32) 1000 olarak
2
Yıllar
İstanbul
Ankara
İzmir
Adana
Bursa
Gaziantep
Eskişehir
Konya
1927
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
19722
691
741
794
861
983
1269
1467
1743
2248
75
123
157
227
289
451
650
906
1209
154
171
184
198
228
297
361
412
521
73
76
88
101
118
169
232
290
352
62
72
78
86
104
129
154
212
276
40
51
57
63
72
97
124
160
216
32
47
61
80
90
120
153
174
201
47
52
56
58
64
92
120
158
226
D.İ.E = Devlet İstatistik Enstitüsü
Geçici verilerdir.
Gövde. Tablonun başlık ile ön sütunu tarafından çevrelenen kısmıdır. Gövde verilerin yer aldığı ve satır sayısı ile sütun sayısının bir eksiğinin çarpımı kadar verinin yazılabileceği yer bulunan kısmıdır. Bunlardan bazılarının boş kalması veya hepsinin dolu olması mümkündür.
3.3 Tablo Düzenlenirken Göz Önünde Tutulması Gerekli Bazı Noktalar.
Bir istatistik tablosu düzenlenirken aşağıdaki noktaların göz önünde tutulması faydalı olur:
Basitlik. İstatistik tablolar mümkün olduğu kadar basit olmalıdır. Basit tablo, ön sütun ve başlıkta yalnız bir vasfın sınıflarının yer aldığı tablodur. 1 sayılı tablo basit ve 2 sayılı tablo ise bileşik bir tabloya örnek olabilir. Özellikle istatistik bilgisi sınırlı olan kimselerin yararlanması için düzenlenen tablolarda basitlik önemle ele alınacak bir noktadır. Karışık tablolara gidildikçe gereken faydanın sağlanması güçleşir.
Kaynak. Kitap broşür ve diğer benzeri yayınlardaki istatistik tablolarda yer alan veriler, çok kez, yayımı yapanın uyguladığı bir metotla elde ettiği bilgiler değildir.
Başka kuurmların elde ettiği veriler aynen bazı işlemlere tabi tutularak alınabilir. Bu gibi hallerde verilerin kaynağı hakkında açık bilgi verilmelidir. Çünkü, bu verileri kullanacak olanlar onların ne çeşit bir metotla elde edildiği, doğruluk dereceleri, kavramlar için kullanılan tarif ve açıklamalar ve benzeri diğer hususlar hakkında bazı bilgilere ihtiyaç duyabilirler. Bu gibi hususlar hakkında yeterli bilgi edeinmeden verilerden gerektiği şekilde faydalanmak mümkün olmaz. Bunun için, kaynakla ilgili olarak, yayımı yapanın adı, yayının adı, aktarılan verilerin bulunduğu sayfa numarası veya tablo numarası, yayım yeri ve tarihi açıklanır.
Kaynak hakkında verilen açıklama, kısa olmak şartiyle, tablonun adının altına yazılır (Tablo 1). Açıklama uzun olduğu takdirde dipnot yerine veya tablonun uygun bir aşka yerine yazılır.
Tablonun şekli ve büyüklüğü. Bir istatistik tablosunun şekli ve büyüklüğü şu faktörlere göre belirir:
1. Tablonun yer alacağı yayının sayfa büyüklüğü. Bir tablonun şekli ve büyüklüğü, her şeyden önce, yer alacağı yayına uygun olmalıdır.
2. Sütun sayısı ve genişlikleri. Tablonun genişliği sütun sayısı ve genişlikleri ile belirir. Geniş tablolar, incelemeyi zorlaştırdığı için, tercih edilmemelidir. Özellikle satır aralıları küçük olan geniş tablolarda sağdaki sütunlarda yer alan bir verinin hangi sınıf veya maddeye ilişkin olduğunun anlaşılması zorlaşır. Geniş bir tablo düzenlemek zorunda kalındığı takdirde ön sütundaki maddelerin,aynı sıraya göre son sütunda da gösterilmesi incelemeyi kolaylaştırır (Tablo 3).
Bazı hallerde verilerin bin veya milyon olarak alınması, ihtiyacın karşılanması bakımından, sakıncalı sayılmaz. Böylelikle tablo genişliğinden önemli bir tasarruf sağlanır (Tablo 3).
3. Satır sayısı. Bir tablonun uzunluğu, ön sütunda yer alan madde veya değer sınıfı sayısına göre belirir. Madde veya sınıf sayısı, bazı hallerde, bir sayfaya sığmayacak kadar çok olabilir. Bu taktirde tablo birden fazla sayfa kapsar (Tablo 58). Tablonun boyunun uzaması veya birden fazla sayfa kapsaması genişliğinin artmasından daha az sakıncalıdır.
Bununla beraber tablonun mümkün olduğu kadar kısa olamasına çalışılır. Özellikle madde sayısı çok olan( ayrıntılı meslek veya faaliyet kollarına göre nufüs, maddelere göre ithalat veya ihracat tablolarında olduğu gibi) bir tabloda satır aralıkları dar tutulur. Ancak, sütun sayısı çoğaldıkça satır hizalarını seçmek zorlaşacağınadan her 5 veya 10 sık satırdan sonra satır aralığının genişletilmesi ile bu sakınca azaltılır.
İstatistik tablolarda, satır çizgisi kullanılmaz. Sadece, toplamlar iki çizgi arasında gösterilebilir. Toplamlar.genellikle, tablonun altında gösterilmekle beraber bazen birinci satıra alınarak altına bir satır çizilir.
Tablo numarası. Özellikle, bir yayında fazla sayıda tablo bulunursa bunlara bir sıra numarası verilmesi uygun olur. Aksi taktirde, metinde zaman zaman söz konusu edilecek tabloların uzun adlarının tekrarlanması zorunda kalınması, psikolojik yönden önemli bir sakıncadır.
Kısaltmalar ve denden( “ “) işaretleri. Tablolarda kısaltmalardan kaçınılmalıdır. Tabloyu düzenliyen kimse için anlamı pek belli olan bir kısaltma, tablodan faydalanması beklenen kimselerden çoğunun anlayamadığı bir kısaltma niteliğinde olabilir. Aynı ifade veya verilerin alt alta gelmesi halinde(“ “)işaretleri kullanışamyıp ifade veya veriler aynen tekrarlanarak yanlış anlamlara yol açılması önlenir.
Önemli maddelerin belirtilmesi. Özellikle analiz tablolarında, önemli verilerin göze çarpacak şekilde gösterilmesi uygun olur. Bunun için aşağıdaki iki yoldan faydalanılır:
a. Önemli sayılan verilere gövdenin sol ve üst tarafında yer verilir. Toplamlar önemli sayılıyorsa birinci satıra yazılır.
b. Önemli sayılan veriler diğerlerinden daha koyu mürekkeple yazılmak suretiyle göze çarptırılır. Mümkün olduğu takdirde değişik renklerden de faydalanılabilir.
Mukayese kolaylığı. Tabloda birbirleriyle mukayese edilecek veriler bulunduğu taktirde verilerin bu işi kolaylaştıracak şekilde tabloda yer alması gerekir. Bu bakımdan, aşağıdaki hususlara dikkat edilmesi faydalı olur:
Alt alta olan verilerin mukayesesi, yan yana olanlarınkinden daha kolaydır.
İki veya daha fazla dizinin mukayesesi yan yana gelen sütunlarda daha kolay olur. Dizilerin alt alta satırlar şeklinde bulunması mukayeseyi zorlaştırır.
İster aynı satırda, ister aynı sütunda bulunsun, mukayese edilecek veriler bir birinden uzaklaştıkça mukayese zorlaşır.
Ölçü bitrimleri. Bir tablodaki bütün veriler aynı ölçü birimi ile ölçülen değerler niteliğinde iseler ölçü birimi, başlıklar üst çizgisinin üzerinde uygun bir yerde açıkalnhır. Bir sütundaki veriler aynı ölçü birimini haiz, fakat sütundan sütuna ölçü birimi değişiyorsa ölçü biriminin niteliği başlıkta açıklanır( Tablo 10). Nihayet, ölçü birimleri sütunlara göre değil satırlara göre değişiklik gösteriyorsa ön sütunda madde adından hemen sonra ölçü biriminin adı yazılır.
Verilerin yuvarlaklaştırılması. Orijinal veriler çok büyük, fakat ihtiyaç bakımından birler basamağına kadar gösterilmesi lüzumsuz ise veriler bin veya milyon olarak tabloya alınır( Tablo 2). Gerçi bu ikisi arasında diğer yuvarlak değerler de (10, 100, 1000 gibi) seçilebilirse de uygulamalarda daha çok bin veya milyon tercih edilmektedir. Bir çok hallerde de veriler mesela, yüzbin cinsinden gösterilmek istense bile bunun yerine milyon cinsinden, fakat , bir basamak kesirli alınması daha pratik sayılır. Verilerin bin veya milyon cinsinden anlaşılması 100, 1000 veya bir başka yuvarlak değer cinsinden anlaşılmasından daha kolaydır. Veriler, genellikle, yaklaşık değerler olduğundan bazı hallerde birler basamağına veya kesirlerine kadar gösterilmesi gülünç olur.
Verilerin yuvarlaklaştırılması bazı hatalara yol açar. Ancak her madde veya sınıf için yapılan pozitif veya negatif yöndeki hatalar kısmen bir birini yok edeceklerinden yuvarlak değerlerden hesaplanan toplam, ortalama, nispet ve benzeri diğer değerlerin hatası nispeten küçük olur. Genellikle, sınıf veya madde sayısı arttıkça verilerin yuvarlaklaştırılması ile bunlar dayanarak hesaplanan istatistiklerin bu yüzden taşıyacakları hata payı küçülür. Bununla beraber, varsa toplam ortalama ve benzeri istatistiklerin orijinal veriler yuvarlaklaştırılırken 0,5 den büyük kesirler 1 birim sayılır ve 0,5 küçükler atılır. Tam 0,5 olan kesirli değerler için kesirden önceki rakam tek ise 1 birim çift ise sıfır birim kabul edilmek suretiyle hata azaltılır.
Tablolarda Kullanılan İşaretler. Tablolarda bazı ortak işaretler kullanılır. İşaretlerde uluslar arası bir uygulama için çalışılmaktadır. Bir çok kimseler buna uymakta iseler de ortak işaretler dikkate alınmadan düzenlenen bir çok tablolara da hala rastlanmaktadır. Birleşmiş Milletler İstatistik Şubesi üye memleketlere, tablolarda çeşitli maksatlar için aşağıdaki işaretlerin kullanılmasını tavsiye etmektedir:
(.) Söz konusu değil. Örneğin, yaşa göre medeni hale ilişkin tablolarda evlenme çağının altındaki nüfus için (.) işareti kullanılır.
(...) Veriler elde edilmedi.
( -) Madde veya sınıfın değeri sıfır.
(0,0) Değer, kullanılan birimin yarısından küçük .
Bütün istatistik tablolarda aynı kavram için aynı işaretlerin kullanılması ile tablolardan daha kolay yararlanma imkanı sağlanır. İşaretlerin ne anlamda kullanıldığının, yayının uygun bir yerinden açıklanması gerekir.
3.4 Verilerin Sıralanması. Tablolarda, verilerin bazı esaslara göre bir düzen altında yer aldığına işaret etmiştik. Veriler için uygulanan bir çok sıralama şekilleri vardır. İhtiyacı en iyi karşılayan veya olayın niteliğine en uygun sıralama seçilir. Başlıca sıralama türleri şunlardır:
Büyüklük. İncelemeyi kolaylaştırmak için, çok kez, kantatif vasıflar ilişkin bireysel değerler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıraya konarak bir sıralı dizi haline getirilir. Veya çokluk bölünümlerinde belli değer sınıflarına göre gruplara ayrılır. Bunun sonucu olarak veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru değer sınıflarına göre sıralanmış olur. En çok analiz tablolarında kullanılan bu sıralama şekli olayın zaman içindeki akımının önemli sayıldığı hallerde uygulanamaz.
İstatistiğin Faydaları
İstatistik metodlarının iki fonksiyonu vardır: Birincisi
Bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak. İkincisi
Bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı
Olmak.
İstatistiğin Uygulama Alanları
Çağımızda sayısal bilgi toplanabilen her araştırma alanında istatistik yöntemler kullanılır:Toplumsal olayların gelişimi, davranış psikolojisi, otomatik üretim süreçleri, bilgisayarlar gibi büyük teknik sistemlerinin yönetimi, jeolojik süreçler, gazlardaki karmaşık olgular, sinir sisteminin işlevleri, beynin yansıtıcı ve yönlendirici çalışmaları istatistik yöntemlere başvurulmadan incelenemezler. Biyoloji,antropoloji, sosyoloji, psikoloji, iktisat, işletme, tıp, kuantum fiziği, biyolojik vb.... özetle tüm bilim dalları, yöntem kuruluşları, teknoloji, iş ve piyasa araştırmalarında istatistikten yararlanılır.
Örnek verecek olursak
Kamu Hizmetlerinin Görülmesinde İstatistiğin Rolü
Mesela; Milli Eğitim politikasının gerektirdiği şekilde planlanıp en yararlı bir şekilde uygulanabilmesi için gelecek yıllarda ilk, orta ve yüksek tahsil çağında bulunan kimselerin sayılarının bilinmesinin, bunlara tahsil imkanı sağlanabilmesi için ne kadar öğretmene, okula ve eğitim-öğretim araçlarına ihtiyaç olduğunun belirlenmesinde kullanılır.
Bilimsel Araştırmalarda İstatistiğin Rolü
Bilimsel araştırmalarda istatistik önemli bir rol oynamaktadır. Özellikle, deneysel araştırmalarda, bir hipotezin kabule değer olup olmadığının belirtilmesi ve araştırma sonuçlarının objektif olarak yorumu ancak modern istatistik metotlarına dayanmak suretiyle mümkündür. İst. Metoduna dayanmayan araştırmalar va bunlarla ulaşılan sonuçlar bilimsel sayılmamaktadır.
BÖLÜM :1
PSİKOLOJİDE İSTATİSTİK
İstatistik teorisi uygulamalı matematiğin bir parçasıdır. O halde istatistik teorisi, psikoloji disiplininin içinde değildir. Bununla birlikte, modern psikolog, istatistik teorisinin hiç değilse temel bilgilerini bilmeyi faydalı bulur. İstatistik öğrenme, psikoloji alanında yetişmenin vazgeçilmez bir parçasıdır. İstatistik teorisi, modern psikoloji araştırmalarıyla şöyle bir tanışıklık isteyen birisi için bile faydalıdır. Psikolojide, başkalarının araştırmalarını anlamak ve değerlendirmek açısından olduğu kadar, kendi araştırma bulgularının sonuçlarını bildirmek ve yorumlamak açısından da istatistik bilmek önemlidir. İstatistik bilgisi, psikoloğa, fiilen gözlediği verilerin ötesine ne ölçüde geçebileceğini değerlendirmek için birtakım analiz aletleri kazandırır.
BETİMSEL İSTATİSTİK
Sokaktaki adam bir istatistikden(istatistik değerden) söz ederken, bir durumu betimleyen bir sayıyı kasteder. İstanbul caddelerinde bir günde meydana gelen trafik kazalarının ortalama sayısı işte bu anlamda bir istatistiktir(istatistik değerdir). Mart 1990’da Türk Ordusundaki asker sayısı bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Üniversite öğrencilerinin ortalama mezuniyet yaşı yerine bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Bir istatistik (istatistik değer) şu veya bu şeyin sayısal durumunu betimler.
İstatistik teorisinin büyük ve önemli bir kısmı, sayısal veri topluluklarını betimlemekle uğraşır. En faydalı olmak ve en kolay bildirilmek için, bir veri topluluğunun toparlanması ve özetleme biçimleridir. Betimsel istatistik teorisi,verileri betimlenin çeşitli biçimlerindeki bilgi ile ve verileri çeşitli biçimlerde sunmanın göreceli verimliliği ile uğraşır.
Örneğin, bir psikolog, bir grup spor yapan erkek lise öğrencisinin ve bir grup spor yapmayan erkek lise öğrencisinin mesleki amaç ve ilgilerini karşılaştırmak isteyebilir. Bununla ilişkili verileri toplayınca, iki grubun herbirini nasıl betimleyeceğine karar vermelidir. Çok büyük miktarda potansiyel bilgi, grupların bir bütün olarak kolayca kavranabilir birkaç özelliği içine sıkıştırılmak zorundadır. Ondan sonra, psikolog, grupların nasıl karşılaştırılacağı meselesiyle uğraşmalıdır. Karşılaştırmanın esası ne olacaktır? Eğer gruplar arasında farklar varsa, bu farklar en açık bir şekilde nasıl gösterilecektir? Gruplar arasında şu veya bu tarzda sayısal karşılaştırmalar yapılmalı mı? Veriler grafikle mi en iyi sunulabilir? Spor yapan bir erkek lise öğrencisinin tipik ilgi örgüsü bulunabilir ve spor yapmayan tipik bir erkek lise öğrencisinin farklılığı gösterilebilir mi? Bütün bu sorular betimsel istatistik göstergelerinin seçilmesi ve kullanılması ile ilgili sorulardır.
Bundan sonraki iki bölümde esas itibarıyla, en çok kullanılan betimsel istatistik göstergelerle uğraşacağız. Verilerin hem grafik hem sayısal özetlenmeleri üzerinde duracağız. Ancak şunu da eklemek gerekir ki bu metodlar, başvurulması mümkün betimsel tekniklerden seçilmiş sadece birkaç tanesidir;veri,lerin farklı amaçlarla toparlanması ve bildirilmesi için çok çeşitli istatistik teknikler geliştirilmiştir. Burada ana çizgileriyle verilen teknikler, sırf çok karşılaşıldıkları için değil, aynı zamanda, daha genel matematiksel istatistik teorisinde merkezi roller oynadıkları için seçilmiştir.
MUHAKEME İSTATİSTİĞİ
Betimsel istatistiğin incelenmesi, veriler hakkında bildirimde bulunmak için bir dil kazandırır. Betimsel istatistik daima, bir deneyicinin topladığı belirli veri topluluğu ile uğraşır. Betimsel istatistiği kullanmada deneycinin görevi, o verilerin gösterdiği şeyi yakalamak ve bildirmektir.
Bunu yapınca deneycinin ilgisi sona ermez. Bir bilim adamı olarak deneyci, doğadaki ve davranıştaki düzenlilikleri bulmaya ilgi duyar. Bu düzenliliklerden genel prensiplere- bundan sonraki gözlemlerin sonucunu önceden kestirmeye imkan veren prensiplere- ulaşmayı ümit eder.
Bilim adamı, koşulan şartların var olduğu her zaman geçerli olması beklenebilecek genel ilişkileri arar. Bu ilişkiler, etrafımızdaki dünya gözlenerek keşfedilir ve doğrulanır.
Öte yandan , hiçbir ölümlü bilim adamı, genel bir sonuç çıkarmak istediği olayların hepsini asla gözleyemez. Genel sonuca, sınırlı sayıda gözlemlere dayanarak varmak zorundadır. Bilim adamı, gözlediği özel şeylerden genel bir sonuca ilerler. Özelden genele gitme süreci tümevarım olarak bilinir. İşaret etmek gerekir ki özel gözlemlerden genelleme süreci çok riskli olabilir. Bilim adamının yaptığı herbir gözlem, bilim adamına, o tür gözlemlerin hepsini yapabildiği takdirde elde edeceği izlenimlerden farklı bir izlenim verebilir.
Ancak sınırlı sayıda gözlemler yapma zorunluluğu ile yüzyüze kalan bilim adamı, gerçek veya uzun vadedeki durumun niteliği hakkında ancak bir tahmin olarak genel sonuçlara varabilir. Gözlemlerine dayanarak bir çeşit genel sonuca ulaşabildiği zaman bile bilim adamı,haklı olduğundan emin değildir, şu veya bu derecede kayıtsızlık duyar.
İste bu noktada istatistik, bilim adamının çalışmasına en değerli ve enteresan katkılarından birini yapar. Muhakame istatistiği teorisi, özel kanıtlardan genel sonuçlara varmak için metodlar sağlar. Bu teori, bilim adamlarına, belirli bir veri toplululuğuna dayanarak ne gibi kararlar vermesi gerektiğini söylemez. Ama sonuçlara ulaşmada işe yarar yolların seçimi hususunda deneyciye rehberlik eder. Bunun da ötesinde, istatistik teorisi, olasılık teorisinden yararlanarak bilim adamına, bir veri topluluğundan belirli bir sonuca varırken girdiği riski hesaplama imkanını verir.
Her ne kadar bu kitapta, muhakeme istatistiği teorisine ancak kısaca değinilecekse de, öğrenci, psikologların ve başka bilim adamlarının, verilere dayanarak istatistik tahminler yapma yolları hakkında bir miktar bilgi edinecektir. Bu bilgiyi edinebilmek için öğrencinin, basit şekliyle olasılık teorisiyle biraz tanışıklığı olmalıdır. Bunun için, kitabın 4 . bölümü öğrenciyi temel olasılık kavramlarıyla tanıştırmak için düzenlenmiştir. Bu kavramlar, sonraki bölümlerde tartışılan muhakeme metodlarının temelini oluşturacaktır.
İSTATİSTİĞİN FAYDALARI
İstatistik metodların, psikoloğun çalışmasına sadece bir ilaveden başka bir şey olamdığını, psikoloji öğrencisi daha ilk baştan anlamalıdır. Yukarıda söylendiği gibi, istatistik metodların iki fonksiyonu vardır: Birincisi, bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak ve ikincisi, bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı olmak. Böyle olmakla birlikte, yaptığı deneyin ve topladığı verilerin gerçek değerinin, bilim adamının kullandığı istatistik aletlerle hiçibir ilgisi yoktur. Bir istatistik metodun uygulanması, fena bir deneyi iyi bir deneye dönüştüremez. Şunun ve şunun doğru olduğuna verilerin bizi inandırma gücü, deneyin kritik bir tarzda düzenlenmiş olmasından ve bir bütün olarak mantığından ileri gelmez. Araştırmaya yeni başlayanların bunu hatırdan çıkarmaması özellikle önemlidir. Öte yandan, iyi tasarlanmış ve yapılmış bir deneyde istatistik Metodlar, deneyin anlamını açıklığa kavuşturmada ve varılan sonuçların genelleştirmeye elverişli olduğunu göstermede son derece yardımcı olabilir.
İstatisitiğin uygulamaları bütün araştırma alanlarında, fizik bilimlerde, biyolojik bilimlerde, mühendislikte, iş ve piyasa araştırmalarında ve başka alanlarda görülür. Farklı alanlarda fiilen kullanılan metodlar farklılıklar gösterse de, bu metodların hepsi aynı temel istatistik teorisine dayanır. Bundan sonraki bölümlerde birtakım istatistik metodlar ana çizgileriyle verilecektir. Bu metodlar iki anlamda temeldir. Birinci olarak, bu metodlar psikolog
“İstatistik” ilk kez 18’ınci yüzyılda Almanya ‘da kullanılmaya başlanmıştır: İstatistik kelimesi sözü edilen yüzyıl başında devlet veya resmi kuruluşlar tarafından ülke hakkında toplanan bilgileri anlatmak için kullanılmıştır. İstatistiğe ilişkin en eski ve bügünde geçerli olan temel kavram sayımdır ve çok eski çağlarda insan ve mal sayımıyla ilgili örneklere rastlanılmıştır. Günümüzde “İstatistik” özellikle de “İstatistikler” kelimesi daha çok devlet veya resmi kuruluşlarca olmak üzere her türlü kuruluş tarafından bir ülkenin tamamı veya bir bölümü için toplanan bilgileri belirtmek için kullanılmaktadır.
Birçok garp dillerinde olduğu gibi dilimizde de “İstatistik” kelimesi daha çok iki anlamda kullanılmaktadır:
a) İstatistik veriler,
b) İstatistik bilimi.
İstatistik veri, sayı ile ifade edilen kollektif ve yaklaşık bilgiler olup istatistik kelimesi bu anlamda daima çoğul halde kullanılır. Eğitim istatistikleri, tarım istatistikleri, dış ticaret istatistikleri gibi.
İstatistik kelimesinin istatistik bilimi anlamı: yakın zamana gelmeye kadar istatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılıp sayılmaması gerektiği hakkında bir görüş birliğine varılamamıştı. Bir kısım bilginler istatistiği diğer bilimlerin araştırmalarında yararlandıkları metot ve tekniklerden ibaret saymakta idiler. Bazıları sadece istatistik metodelojisini bağımsız bir bilim kolu sayarak tatbiki istatistikleri birer metot olarak kabul etmenin doğru olacağı inancında idiler.
İstatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılmasına karşı olanların tezi şu şekilde özetlenebilir:
Kendisine özgü bir konusunun olmayışı. İstatistiğin kendisine özgü bir konusu yoktur.
Bir bilim kolunun bazı kanunlar ortaya çıkarması gerekir. İstatistiğin bulduğu bir kanun yoktur.
Bir bilim kolunun bütün için ortaya çıkardığı genel yargılar bütünü oluşturan kısımlar için de aynı derecede sağlam olduğu halde istatistikle bir yığın hakkında ortaya çıkarılan genel yargılar yığının kısımları veya birimleri hakkında bir anlam taşımamaktadır.
Bir bilim kolunun incelediği olay hakkında ulaştığı bir genel yargı zaman ve yer bakımından değerinden birşey kaybetmediği halde istatistiğin bulduğu genel yargılar sadece belli bir yerdeki ve belli bir zaman için belli bir yığın olayına ilişkindir.
İstatistiği başlı başına bir bilim kolu sayanların cevapları ise şu şekildedir:
a. Konu: İstatistik sadece yığın olaylarını inceler. Bunun için kendisine özgü bir konusu vardır.
b. Kanun: İstatistiğin ortaya koyduğu bir “Büyük Sayılar Kanunu” vardır. Bu kanun şu şekilde ifade edilir:
Gözlem sayısı arttıkça ana eğilimi pozitif ve negatif yönde sapmaya zorlayan geçici ve tesadüfi sebeplerin etkileri daha büyük ölçüde birbirini yok edecek yığın olayının ana eğilimi gerçeğe daha yakın olarak belirir. Başka bir deyişle gözlem sayısı arttıkça olay üzerinde pozitif yöndeki etkilerin negatif yöndeki etkilere oranı gittikçe 1’ e yaklaşır, Büyük Sayılar Kanunu her yığın olayı normal veya anormal koşullar altında aynı derecede geçerlidir.
c. Genel Yargılar: İstatistik yığın olaylarını inceler. Olayın bir özelliğinin belirtilmesi veya olay hakkında bir genel yargının ortaya konması için gözlem sayısının veya yığını oluşturan birim sayısının yeteri kadar büyük olması gerekir. Bu, büyük sayılar kanununun gereklerindendir.
d. Zaman ve yer: İstatistiğin ortaya koyduğu genel yargıların ancak belli bir yerde ve zamandaki bir yığın için doğru olup başka yer ve zamanlar için bir değer taşımadığı şeklindeki yargıda hatalıdır. Aynı nitelikte ve yeteri kadar büyüklükte alındığı taktirde bir yığın olayı için bulunan bir genel yargının zaman ve yer değişikliği ile değerinden birşey kaybetmediği görülür.
Sonuç olarak, istatistik bağımsız bir bilim kolu olarak yerini almış bulunmaktadır.
İstatistiğin Tanımı
19.yüzyılda Belçikalı İstatistikçi Quetelet 100’ü aşkın değişik istatistik tanımının varlığını ortaya koymuştur. 1896 yılında La Haye uluslar arası istatistik kongresinde. Alman istatistikçi Engel birbirinden farklı 180 tane istatistik tanımı belirlediğini ifade ederek adete istatistik tanımlarının istatistiğini yapmıştır.
Yapılan istatistik tanımlarından birkaçı aşağıdadır:
Yığın olaylarını inceleyen ve bunlara ilişkin genel bağıntıları belirtmeye çalışan bir bilimdir.
Çok sayıda dış etkene bağlı nesne, varlık ya da olayların sayısal dökümü yapılabilen özelliklerini, incelemeye yarayan bir teknik ya da yöntem kümesidir.
Yığın olayların belli amaçlarla gözlemlenmesi sonucu elde edilen verilerin sayısal biçimde işlenmesini sağlayarak, sözkonusu olayların oluşturduğu yığınların bilimsel bir şekilde incelenmesinde kullanılan teknik ve yöntemler bilimidir.
Çağdaş anlamda istatistik kısaca “Bilimsel karar ile bilimsel eyleme ışık tutan teknik” diye tanımlanabilir.
İstatistik Sözcüğünün Kökeni
“İstatistik” sözcüğünün İtalyanca’da devlet adamı anlamına gelen “statista” sözcüğünden alındığı ifade edildiği gibi, Latince de durum anlamına gelen “status” kökünden türetildiğine de inanılmaktadır. Yunanca’da gözlem için kullanılan “startizein” sözcüğünden kaynaklandığı inancında olanların yanında 15.yüzyılda İtalya’da devletin siyasal durumu anlamındaki “stato” kökünden kaynaklandığı görüşünde olanlar da vardır.
“İstatistik” sözcüğüyle ilgili olarak kesin bilinen, Alman bilimcilerin 18.yüzyıl başlarında devletin durumuyla ilgili sayısal bilgiler için ilk kez “Statistik” deyimini kullanmış olmalarıdır.
Türkiye’de Cumhuriyet döneminde yerleşmiş olan istatistik sözcüğüne karşılık olarak, Osmanlı İmparatorluğunda “ihsaiyat” deyimi kullanılmıştır.
İstatistik Kuramın Gelişmesi
i.) 17.yüzyıl ortalarında Alman Üniversitelerinde okutulan “Devlet Bilgisi” dersi ile başlangıç böylece devlet “status” sözcüğünden türüyen “istatistik” sözcüğünün ortaya çıkışı sayılara dayanmadan devletin betimlenmesi üzerinde duran bu okulun önde gelenleri Con ring, Archenwell, Schmeitzelldir ii) Daha sonra İngiltere’de ve kısmen Almanya’da ortaya çıkan “Sigorta Matematikçileri Okulu” önde gelenleri Graunt,Pethy,Halley,Süssmilch olan bu okul, dogum, ölüm gibi nüfus olaylarını sayısal verilere dayanarak çözümler. iii) Kökeni Pascal’da ,Galileo’da aransa da ”Büyük Sayılar Kanunu “ile gerçek öncülüğü Bernouilli’nin yaptığı olasılık hesabını geliştiren okul Bernouilli’yi de Moivre, Laplace, Lagendre, Gauss, Poisson, Bienayme izler. İv) Bu okulların düşüncelerini birleştirerek tümdengelimci istatistiğe, tümevarımcı istatsitiği katarak çözümlemeye ağırlık veren okul ve temelini atan Quetelet’dir. Ardından Galton, Pearson, Spearmann,Fisher ve daha inceleri gelir.v) Son olarak bu okullara başta Benzerci olmak üzere çok değişkenli çözümlemede betimsel istatisteğe yeni boyutlar kazandıran Fransız okuluda eklenebilir.
İstatistik Araştırmanın Amacı
Rastlantıyı göz önünde tutarak olayları belirleyen genel yasaları, genel eğilimi ortaya çıkarmak, ana nedenleri aramak, olaylar arasındaki ilişkileri bağlantıları bulmak, böylece türlü yönetim, bilim ve teknik dallarında yapılacak kestirimlere, öngörülere, alınacak kararlara, girişilecek eylemlere yardımcı olmaktır.
Günümüzde İstatistiğin Önemi
Günümüzde hükümetler politikalarını förmüle etmek ve aldıkları kararları desteklemek, politikacılarda halkı ikna etmek için istatsitikleri temel almaktadır. Tıbbı araştırmlarda hastaların teşhişinde ve yeni ilaçların yan etkilerinin ortaya kaonulmasında istatiksel teknikler kullanılmaktadır. Ekonomi, işletme ve kamu yönetiminde istatistiğin kullanılması son yarım yüzyıl içinde olaganüstü bir gelişme göstermiştir. İstatiksel yöntem sosyal bilimlerin bütün dallarında hemen hemen tek pratik çalışma aracı durumundadır.
iSTATİSTİK TABLOLAR
3
3.1 Tablo Tipleri. Verilerin istifadeye sunulmasında kullanılan çeşitli istatistik tablolar; genel tablolar ve analiz tabloları olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Genel tablolar, olay hakkında ayrıntılı ve tasviri bilgiler için düzenlenen tablolardır. Analiz tablolarında olay hakkında özet bilgilere yer verilerek önemsiz veriler ihmal edilir.
İstatistik tablolarda veriler belli bir sıraya göre yer alır. Verilerin sıralanması ihtiyaca göre şekil alır. Verilerin özel bir sıraya konması incelemeyi kolaylaştırır. Verilerin sayısı ne kadar çok olursa olsun tablo halinde istifadeye sunulmasında bir güçlük ortaya çıkarmaz. Bundan başka, çok sayıda dizilerin mukayesesi ancak tablo ile mümkündür.
3.2 Tablonun Kısımları. Birbirlerinden farklı çeşitli istatistik tablolar bulunmakla beraber bütün tablolarda şu kısımlar mutlaka yer alır: 1. Tablonun adı, 2.Başlık, 3.Ön sütun , 4. Gövde.Tablonun bu ana kısımları Tablo 1 de görülmektedir.
Tablonun Adı. Tablonun adı, tablodaki verilerin niteliğini, nereye ve ne zamana ilişkin olduğunu açıklamalıdır. Ancak, ad için çok uzun ifadelere kaçılması doğru olmaz. Gerekirse açıklıktan biraz fedekarlık yapılarak çok uzun olmayan bir ifade tercih edilir.
Başlık, Sütunlardaki maddelerin ve verilerin niteliğini gösterir, ifadelerdir. Başlığa, sütun adı da diyebiliriz.
Ön Sütun. Tablonun en solundaki sütununa ön sütun denir. Ön sütunda, belli bir sıra altında maddeler veya vasıflara ilişkin sınıflar yer alır.
Tablo 1
Sayım Yılları İtibariyle Bazı Şehirlerimizin 1
Nüfusları,1927-1970
(D.İ.E.1 İstatistik Yıllığı 1968 Sahife 32) 1000 olarak
2
Yıllar
İstanbul
Ankara
İzmir
Adana
Bursa
Gaziantep
Eskişehir
Konya
1927
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
19722
691
741
794
861
983
1269
1467
1743
2248
75
123
157
227
289
451
650
906
1209
154
171
184
198
228
297
361
412
521
73
76
88
101
118
169
232
290
352
62
72
78
86
104
129
154
212
276
40
51
57
63
72
97
124
160
216
32
47
61
80
90
120
153
174
201
47
52
56
58
64
92
120
158
226
D.İ.E = Devlet İstatistik Enstitüsü
Geçici verilerdir.
Gövde. Tablonun başlık ile ön sütunu tarafından çevrelenen kısmıdır. Gövde verilerin yer aldığı ve satır sayısı ile sütun sayısının bir eksiğinin çarpımı kadar verinin yazılabileceği yer bulunan kısmıdır. Bunlardan bazılarının boş kalması veya hepsinin dolu olması mümkündür.
3.3 Tablo Düzenlenirken Göz Önünde Tutulması Gerekli Bazı Noktalar.
Bir istatistik tablosu düzenlenirken aşağıdaki noktaların göz önünde tutulması faydalı olur:
Basitlik. İstatistik tablolar mümkün olduğu kadar basit olmalıdır. Basit tablo, ön sütun ve başlıkta yalnız bir vasfın sınıflarının yer aldığı tablodur. 1 sayılı tablo basit ve 2 sayılı tablo ise bileşik bir tabloya örnek olabilir. Özellikle istatistik bilgisi sınırlı olan kimselerin yararlanması için düzenlenen tablolarda basitlik önemle ele alınacak bir noktadır. Karışık tablolara gidildikçe gereken faydanın sağlanması güçleşir.
Kaynak. Kitap broşür ve diğer benzeri yayınlardaki istatistik tablolarda yer alan veriler, çok kez, yayımı yapanın uyguladığı bir metotla elde ettiği bilgiler değildir.
Başka kuurmların elde ettiği veriler aynen bazı işlemlere tabi tutularak alınabilir. Bu gibi hallerde verilerin kaynağı hakkında açık bilgi verilmelidir. Çünkü, bu verileri kullanacak olanlar onların ne çeşit bir metotla elde edildiği, doğruluk dereceleri, kavramlar için kullanılan tarif ve açıklamalar ve benzeri diğer hususlar hakkında bazı bilgilere ihtiyaç duyabilirler. Bu gibi hususlar hakkında yeterli bilgi edeinmeden verilerden gerektiği şekilde faydalanmak mümkün olmaz. Bunun için, kaynakla ilgili olarak, yayımı yapanın adı, yayının adı, aktarılan verilerin bulunduğu sayfa numarası veya tablo numarası, yayım yeri ve tarihi açıklanır.
Kaynak hakkında verilen açıklama, kısa olmak şartiyle, tablonun adının altına yazılır (Tablo 1). Açıklama uzun olduğu takdirde dipnot yerine veya tablonun uygun bir aşka yerine yazılır.
Tablonun şekli ve büyüklüğü. Bir istatistik tablosunun şekli ve büyüklüğü şu faktörlere göre belirir:
1. Tablonun yer alacağı yayının sayfa büyüklüğü. Bir tablonun şekli ve büyüklüğü, her şeyden önce, yer alacağı yayına uygun olmalıdır.
2. Sütun sayısı ve genişlikleri. Tablonun genişliği sütun sayısı ve genişlikleri ile belirir. Geniş tablolar, incelemeyi zorlaştırdığı için, tercih edilmemelidir. Özellikle satır aralıları küçük olan geniş tablolarda sağdaki sütunlarda yer alan bir verinin hangi sınıf veya maddeye ilişkin olduğunun anlaşılması zorlaşır. Geniş bir tablo düzenlemek zorunda kalındığı takdirde ön sütundaki maddelerin,aynı sıraya göre son sütunda da gösterilmesi incelemeyi kolaylaştırır (Tablo 3).
Bazı hallerde verilerin bin veya milyon olarak alınması, ihtiyacın karşılanması bakımından, sakıncalı sayılmaz. Böylelikle tablo genişliğinden önemli bir tasarruf sağlanır (Tablo 3).
3. Satır sayısı. Bir tablonun uzunluğu, ön sütunda yer alan madde veya değer sınıfı sayısına göre belirir. Madde veya sınıf sayısı, bazı hallerde, bir sayfaya sığmayacak kadar çok olabilir. Bu taktirde tablo birden fazla sayfa kapsar (Tablo 58). Tablonun boyunun uzaması veya birden fazla sayfa kapsaması genişliğinin artmasından daha az sakıncalıdır.
Bununla beraber tablonun mümkün olduğu kadar kısa olamasına çalışılır. Özellikle madde sayısı çok olan( ayrıntılı meslek veya faaliyet kollarına göre nufüs, maddelere göre ithalat veya ihracat tablolarında olduğu gibi) bir tabloda satır aralıkları dar tutulur. Ancak, sütun sayısı çoğaldıkça satır hizalarını seçmek zorlaşacağınadan her 5 veya 10 sık satırdan sonra satır aralığının genişletilmesi ile bu sakınca azaltılır.
İstatistik tablolarda, satır çizgisi kullanılmaz. Sadece, toplamlar iki çizgi arasında gösterilebilir. Toplamlar.genellikle, tablonun altında gösterilmekle beraber bazen birinci satıra alınarak altına bir satır çizilir.
Tablo numarası. Özellikle, bir yayında fazla sayıda tablo bulunursa bunlara bir sıra numarası verilmesi uygun olur. Aksi taktirde, metinde zaman zaman söz konusu edilecek tabloların uzun adlarının tekrarlanması zorunda kalınması, psikolojik yönden önemli bir sakıncadır.
Kısaltmalar ve denden( “ “) işaretleri. Tablolarda kısaltmalardan kaçınılmalıdır. Tabloyu düzenliyen kimse için anlamı pek belli olan bir kısaltma, tablodan faydalanması beklenen kimselerden çoğunun anlayamadığı bir kısaltma niteliğinde olabilir. Aynı ifade veya verilerin alt alta gelmesi halinde(“ “)işaretleri kullanışamyıp ifade veya veriler aynen tekrarlanarak yanlış anlamlara yol açılması önlenir.
Önemli maddelerin belirtilmesi. Özellikle analiz tablolarında, önemli verilerin göze çarpacak şekilde gösterilmesi uygun olur. Bunun için aşağıdaki iki yoldan faydalanılır:
a. Önemli sayılan verilere gövdenin sol ve üst tarafında yer verilir. Toplamlar önemli sayılıyorsa birinci satıra yazılır.
b. Önemli sayılan veriler diğerlerinden daha koyu mürekkeple yazılmak suretiyle göze çarptırılır. Mümkün olduğu takdirde değişik renklerden de faydalanılabilir.
Mukayese kolaylığı. Tabloda birbirleriyle mukayese edilecek veriler bulunduğu taktirde verilerin bu işi kolaylaştıracak şekilde tabloda yer alması gerekir. Bu bakımdan, aşağıdaki hususlara dikkat edilmesi faydalı olur:
Alt alta olan verilerin mukayesesi, yan yana olanlarınkinden daha kolaydır.
İki veya daha fazla dizinin mukayesesi yan yana gelen sütunlarda daha kolay olur. Dizilerin alt alta satırlar şeklinde bulunması mukayeseyi zorlaştırır.
İster aynı satırda, ister aynı sütunda bulunsun, mukayese edilecek veriler bir birinden uzaklaştıkça mukayese zorlaşır.
Ölçü bitrimleri. Bir tablodaki bütün veriler aynı ölçü birimi ile ölçülen değerler niteliğinde iseler ölçü birimi, başlıklar üst çizgisinin üzerinde uygun bir yerde açıkalnhır. Bir sütundaki veriler aynı ölçü birimini haiz, fakat sütundan sütuna ölçü birimi değişiyorsa ölçü biriminin niteliği başlıkta açıklanır( Tablo 10). Nihayet, ölçü birimleri sütunlara göre değil satırlara göre değişiklik gösteriyorsa ön sütunda madde adından hemen sonra ölçü biriminin adı yazılır.
Verilerin yuvarlaklaştırılması. Orijinal veriler çok büyük, fakat ihtiyaç bakımından birler basamağına kadar gösterilmesi lüzumsuz ise veriler bin veya milyon olarak tabloya alınır( Tablo 2). Gerçi bu ikisi arasında diğer yuvarlak değerler de (10, 100, 1000 gibi) seçilebilirse de uygulamalarda daha çok bin veya milyon tercih edilmektedir. Bir çok hallerde de veriler mesela, yüzbin cinsinden gösterilmek istense bile bunun yerine milyon cinsinden, fakat , bir basamak kesirli alınması daha pratik sayılır. Verilerin bin veya milyon cinsinden anlaşılması 100, 1000 veya bir başka yuvarlak değer cinsinden anlaşılmasından daha kolaydır. Veriler, genellikle, yaklaşık değerler olduğundan bazı hallerde birler basamağına veya kesirlerine kadar gösterilmesi gülünç olur.
Verilerin yuvarlaklaştırılması bazı hatalara yol açar. Ancak her madde veya sınıf için yapılan pozitif veya negatif yöndeki hatalar kısmen bir birini yok edeceklerinden yuvarlak değerlerden hesaplanan toplam, ortalama, nispet ve benzeri diğer değerlerin hatası nispeten küçük olur. Genellikle, sınıf veya madde sayısı arttıkça verilerin yuvarlaklaştırılması ile bunlar dayanarak hesaplanan istatistiklerin bu yüzden taşıyacakları hata payı küçülür. Bununla beraber, varsa toplam ortalama ve benzeri istatistiklerin orijinal veriler yuvarlaklaştırılırken 0,5 den büyük kesirler 1 birim sayılır ve 0,5 küçükler atılır. Tam 0,5 olan kesirli değerler için kesirden önceki rakam tek ise 1 birim çift ise sıfır birim kabul edilmek suretiyle hata azaltılır.
Tablolarda Kullanılan İşaretler. Tablolarda bazı ortak işaretler kullanılır. İşaretlerde uluslar arası bir uygulama için çalışılmaktadır. Bir çok kimseler buna uymakta iseler de ortak işaretler dikkate alınmadan düzenlenen bir çok tablolara da hala rastlanmaktadır. Birleşmiş Milletler İstatistik Şubesi üye memleketlere, tablolarda çeşitli maksatlar için aşağıdaki işaretlerin kullanılmasını tavsiye etmektedir:
(.) Söz konusu değil. Örneğin, yaşa göre medeni hale ilişkin tablolarda evlenme çağının altındaki nüfus için (.) işareti kullanılır.
(...) Veriler elde edilmedi.
( -) Madde veya sınıfın değeri sıfır.
(0,0) Değer, kullanılan birimin yarısından küçük .
Bütün istatistik tablolarda aynı kavram için aynı işaretlerin kullanılması ile tablolardan daha kolay yararlanma imkanı sağlanır. İşaretlerin ne anlamda kullanıldığının, yayının uygun bir yerinden açıklanması gerekir.
3.4 Verilerin Sıralanması. Tablolarda, verilerin bazı esaslara göre bir düzen altında yer aldığına işaret etmiştik. Veriler için uygulanan bir çok sıralama şekilleri vardır. İhtiyacı en iyi karşılayan veya olayın niteliğine en uygun sıralama seçilir. Başlıca sıralama türleri şunlardır:
Büyüklük. İncelemeyi kolaylaştırmak için, çok kez, kantatif vasıflar ilişkin bireysel değerler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıraya konarak bir sıralı dizi haline getirilir. Veya çokluk bölünümlerinde belli değer sınıflarına göre gruplara ayrılır. Bunun sonucu olarak veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru değer sınıflarına göre sıralanmış olur. En çok analiz tablolarında kullanılan bu sıralama şekli olayın zaman içindeki akımının önemli sayıldığı hallerde uygulanamaz.
İstatistiğin Faydaları
İstatistik metodlarının iki fonksiyonu vardır: Birincisi
Bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak. İkincisi
Bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı
Olmak.
İstatistiğin Uygulama Alanları
Çağımızda sayısal bilgi toplanabilen her araştırma alanında istatistik yöntemler kullanılır:Toplumsal olayların gelişimi, davranış psikolojisi, otomatik üretim süreçleri, bilgisayarlar gibi büyük teknik sistemlerinin yönetimi, jeolojik süreçler, gazlardaki karmaşık olgular, sinir sisteminin işlevleri, beynin yansıtıcı ve yönlendirici çalışmaları istatistik yöntemlere başvurulmadan incelenemezler. Biyoloji,antropoloji, sosyoloji, psikoloji, iktisat, işletme, tıp, kuantum fiziği, biyolojik vb.... özetle tüm bilim dalları, yöntem kuruluşları, teknoloji, iş ve piyasa araştırmalarında istatistikten yararlanılır.
Örnek verecek olursak
Kamu Hizmetlerinin Görülmesinde İstatistiğin Rolü
Mesela; Milli Eğitim politikasının gerektirdiği şekilde planlanıp en yararlı bir şekilde uygulanabilmesi için gelecek yıllarda ilk, orta ve yüksek tahsil çağında bulunan kimselerin sayılarının bilinmesinin, bunlara tahsil imkanı sağlanabilmesi için ne kadar öğretmene, okula ve eğitim-öğretim araçlarına ihtiyaç olduğunun belirlenmesinde kullanılır.
Bilimsel Araştırmalarda İstatistiğin Rolü
Bilimsel araştırmalarda istatistik önemli bir rol oynamaktadır. Özellikle, deneysel araştırmalarda, bir hipotezin kabule değer olup olmadığının belirtilmesi ve araştırma sonuçlarının objektif olarak yorumu ancak modern istatistik metotlarına dayanmak suretiyle mümkündür. İst. Metoduna dayanmayan araştırmalar va bunlarla ulaşılan sonuçlar bilimsel sayılmamaktadır.
BÖLÜM :1
PSİKOLOJİDE İSTATİSTİK
İstatistik teorisi uygulamalı matematiğin bir parçasıdır. O halde istatistik teorisi, psikoloji disiplininin içinde değildir. Bununla birlikte, modern psikolog, istatistik teorisinin hiç değilse temel bilgilerini bilmeyi faydalı bulur. İstatistik öğrenme, psikoloji alanında yetişmenin vazgeçilmez bir parçasıdır. İstatistik teorisi, modern psikoloji araştırmalarıyla şöyle bir tanışıklık isteyen birisi için bile faydalıdır. Psikolojide, başkalarının araştırmalarını anlamak ve değerlendirmek açısından olduğu kadar, kendi araştırma bulgularının sonuçlarını bildirmek ve yorumlamak açısından da istatistik bilmek önemlidir. İstatistik bilgisi, psikoloğa, fiilen gözlediği verilerin ötesine ne ölçüde geçebileceğini değerlendirmek için birtakım analiz aletleri kazandırır.
BETİMSEL İSTATİSTİK
Sokaktaki adam bir istatistikden(istatistik değerden) söz ederken, bir durumu betimleyen bir sayıyı kasteder. İstanbul caddelerinde bir günde meydana gelen trafik kazalarının ortalama sayısı işte bu anlamda bir istatistiktir(istatistik değerdir). Mart 1990’da Türk Ordusundaki asker sayısı bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Üniversite öğrencilerinin ortalama mezuniyet yaşı yerine bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Bir istatistik (istatistik değer) şu veya bu şeyin sayısal durumunu betimler.
İstatistik teorisinin büyük ve önemli bir kısmı, sayısal veri topluluklarını betimlemekle uğraşır. En faydalı olmak ve en kolay bildirilmek için, bir veri topluluğunun toparlanması ve özetleme biçimleridir. Betimsel istatistik teorisi,verileri betimlenin çeşitli biçimlerindeki bilgi ile ve verileri çeşitli biçimlerde sunmanın göreceli verimliliği ile uğraşır.
Örneğin, bir psikolog, bir grup spor yapan erkek lise öğrencisinin ve bir grup spor yapmayan erkek lise öğrencisinin mesleki amaç ve ilgilerini karşılaştırmak isteyebilir. Bununla ilişkili verileri toplayınca, iki grubun herbirini nasıl betimleyeceğine karar vermelidir. Çok büyük miktarda potansiyel bilgi, grupların bir bütün olarak kolayca kavranabilir birkaç özelliği içine sıkıştırılmak zorundadır. Ondan sonra, psikolog, grupların nasıl karşılaştırılacağı meselesiyle uğraşmalıdır. Karşılaştırmanın esası ne olacaktır? Eğer gruplar arasında farklar varsa, bu farklar en açık bir şekilde nasıl gösterilecektir? Gruplar arasında şu veya bu tarzda sayısal karşılaştırmalar yapılmalı mı? Veriler grafikle mi en iyi sunulabilir? Spor yapan bir erkek lise öğrencisinin tipik ilgi örgüsü bulunabilir ve spor yapmayan tipik bir erkek lise öğrencisinin farklılığı gösterilebilir mi? Bütün bu sorular betimsel istatistik göstergelerinin seçilmesi ve kullanılması ile ilgili sorulardır.
Bundan sonraki iki bölümde esas itibarıyla, en çok kullanılan betimsel istatistik göstergelerle uğraşacağız. Verilerin hem grafik hem sayısal özetlenmeleri üzerinde duracağız. Ancak şunu da eklemek gerekir ki bu metodlar, başvurulması mümkün betimsel tekniklerden seçilmiş sadece birkaç tanesidir;veri,lerin farklı amaçlarla toparlanması ve bildirilmesi için çok çeşitli istatistik teknikler geliştirilmiştir. Burada ana çizgileriyle verilen teknikler, sırf çok karşılaşıldıkları için değil, aynı zamanda, daha genel matematiksel istatistik teorisinde merkezi roller oynadıkları için seçilmiştir.
MUHAKEME İSTATİSTİĞİ
Betimsel istatistiğin incelenmesi, veriler hakkında bildirimde bulunmak için bir dil kazandırır. Betimsel istatistik daima, bir deneyicinin topladığı belirli veri topluluğu ile uğraşır. Betimsel istatistiği kullanmada deneycinin görevi, o verilerin gösterdiği şeyi yakalamak ve bildirmektir.
Bunu yapınca deneycinin ilgisi sona ermez. Bir bilim adamı olarak deneyci, doğadaki ve davranıştaki düzenlilikleri bulmaya ilgi duyar. Bu düzenliliklerden genel prensiplere- bundan sonraki gözlemlerin sonucunu önceden kestirmeye imkan veren prensiplere- ulaşmayı ümit eder.
Bilim adamı, koşulan şartların var olduğu her zaman geçerli olması beklenebilecek genel ilişkileri arar. Bu ilişkiler, etrafımızdaki dünya gözlenerek keşfedilir ve doğrulanır.
Öte yandan , hiçbir ölümlü bilim adamı, genel bir sonuç çıkarmak istediği olayların hepsini asla gözleyemez. Genel sonuca, sınırlı sayıda gözlemlere dayanarak varmak zorundadır. Bilim adamı, gözlediği özel şeylerden genel bir sonuca ilerler. Özelden genele gitme süreci tümevarım olarak bilinir. İşaret etmek gerekir ki özel gözlemlerden genelleme süreci çok riskli olabilir. Bilim adamının yaptığı herbir gözlem, bilim adamına, o tür gözlemlerin hepsini yapabildiği takdirde elde edeceği izlenimlerden farklı bir izlenim verebilir.
Ancak sınırlı sayıda gözlemler yapma zorunluluğu ile yüzyüze kalan bilim adamı, gerçek veya uzun vadedeki durumun niteliği hakkında ancak bir tahmin olarak genel sonuçlara varabilir. Gözlemlerine dayanarak bir çeşit genel sonuca ulaşabildiği zaman bile bilim adamı,haklı olduğundan emin değildir, şu veya bu derecede kayıtsızlık duyar.
İste bu noktada istatistik, bilim adamının çalışmasına en değerli ve enteresan katkılarından birini yapar. Muhakame istatistiği teorisi, özel kanıtlardan genel sonuçlara varmak için metodlar sağlar. Bu teori, bilim adamlarına, belirli bir veri toplululuğuna dayanarak ne gibi kararlar vermesi gerektiğini söylemez. Ama sonuçlara ulaşmada işe yarar yolların seçimi hususunda deneyciye rehberlik eder. Bunun da ötesinde, istatistik teorisi, olasılık teorisinden yararlanarak bilim adamına, bir veri topluluğundan belirli bir sonuca varırken girdiği riski hesaplama imkanını verir.
Her ne kadar bu kitapta, muhakeme istatistiği teorisine ancak kısaca değinilecekse de, öğrenci, psikologların ve başka bilim adamlarının, verilere dayanarak istatistik tahminler yapma yolları hakkında bir miktar bilgi edinecektir. Bu bilgiyi edinebilmek için öğrencinin, basit şekliyle olasılık teorisiyle biraz tanışıklığı olmalıdır. Bunun için, kitabın 4 . bölümü öğrenciyi temel olasılık kavramlarıyla tanıştırmak için düzenlenmiştir. Bu kavramlar, sonraki bölümlerde tartışılan muhakeme metodlarının temelini oluşturacaktır.
İSTATİSTİĞİN FAYDALARI
İstatistik metodların, psikoloğun çalışmasına sadece bir ilaveden başka bir şey olamdığını, psikoloji öğrencisi daha ilk baştan anlamalıdır. Yukarıda söylendiği gibi, istatistik metodların iki fonksiyonu vardır: Birincisi, bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak ve ikincisi, bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı olmak. Böyle olmakla birlikte, yaptığı deneyin ve topladığı verilerin gerçek değerinin, bilim adamının kullandığı istatistik aletlerle hiçibir ilgisi yoktur. Bir istatistik metodun uygulanması, fena bir deneyi iyi bir deneye dönüştüremez. Şunun ve şunun doğru olduğuna verilerin bizi inandırma gücü, deneyin kritik bir tarzda düzenlenmiş olmasından ve bir bütün olarak mantığından ileri gelmez. Araştırmaya yeni başlayanların bunu hatırdan çıkarmaması özellikle önemlidir. Öte yandan, iyi tasarlanmış ve yapılmış bir deneyde istatistik Metodlar, deneyin anlamını açıklığa kavuşturmada ve varılan sonuçların genelleştirmeye elverişli olduğunu göstermede son derece yardımcı olabilir.
İstatisitiğin uygulamaları bütün araştırma alanlarında, fizik bilimlerde, biyolojik bilimlerde, mühendislikte, iş ve piyasa araştırmalarında ve başka alanlarda görülür. Farklı alanlarda fiilen kullanılan metodlar farklılıklar gösterse de, bu metodların hepsi aynı temel istatistik teorisine dayanır. Bundan sonraki bölümlerde birtakım istatistik metodlar ana çizgileriyle verilecektir. Bu metodlar iki anlamda temeldir. Birinci olarak, bu metodlar psikolog Kelimesinin Anlamı
“İstatistik” ilk kez 18’ınci yüzyılda Almanya ‘da kullanılmaya başlanmıştır: İstatistik kelimesi sözü edilen yüzyıl başında devlet veya resmi kuruluşlar tarafından ülke hakkında toplanan bilgileri anlatmak için kullanılmıştır. İstatistiğe ilişkin en eski ve bügünde geçerli olan temel kavram sayımdır ve çok eski çağlarda insan ve mal sayımıyla ilgili örneklere rastlanılmıştır. Günümüzde “İstatistik” özellikle de “İstatistikler” kelimesi daha çok devlet veya resmi kuruluşlarca olmak üzere her türlü kuruluş tarafından bir ülkenin tamamı veya bir bölümü için toplanan bilgileri belirtmek için kullanılmaktadır.
Birçok garp dillerinde olduğu gibi dilimizde de “İstatistik” kelimesi daha çok iki anlamda kullanılmaktadır:
a) İstatistik veriler,
b) İstatistik bilimi.
İstatistik veri, sayı ile ifade edilen kollektif ve yaklaşık bilgiler olup istatistik kelimesi bu anlamda daima çoğul halde kullanılır. Eğitim istatistikleri, tarım istatistikleri, dış ticaret istatistikleri gibi.
İstatistik kelimesinin istatistik bilimi anlamı: yakın zamana gelmeye kadar istatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılıp sayılmaması gerektiği hakkında bir görüş birliğine varılamamıştı. Bir kısım bilginler istatistiği diğer bilimlerin araştırmalarında yararlandıkları metot ve tekniklerden ibaret saymakta idiler. Bazıları sadece istatistik metodelojisini bağımsız bir bilim kolu sayarak tatbiki istatistikleri birer metot olarak kabul etmenin doğru olacağı inancında idiler.
İstatistiğin bağımsız bir bilim kolu sayılmasına karşı olanların tezi şu şekilde özetlenebilir:
Kendisine özgü bir konusunun olmayışı. İstatistiğin kendisine özgü bir konusu yoktur.
Bir bilim kolunun bazı kanunlar ortaya çıkarması gerekir. İstatistiğin bulduğu bir kanun yoktur.
Bir bilim kolunun bütün için ortaya çıkardığı genel yargılar bütünü oluşturan kısımlar için de aynı derecede sağlam olduğu halde istatistikle bir yığın hakkında ortaya çıkarılan genel yargılar yığının kısımları veya birimleri hakkında bir anlam taşımamaktadır.
Bir bilim kolunun incelediği olay hakkında ulaştığı bir genel yargı zaman ve yer bakımından değerinden birşey kaybetmediği halde istatistiğin bulduğu genel yargılar sadece belli bir yerdeki ve belli bir zaman için belli bir yığın olayına ilişkindir.
İstatistiği başlı başına bir bilim kolu sayanların cevapları ise şu şekildedir:
a. Konu: İstatistik sadece yığın olaylarını inceler. Bunun için kendisine özgü bir konusu vardır.
b. Kanun: İstatistiğin ortaya koyduğu bir “Büyük Sayılar Kanunu” vardır. Bu kanun şu şekilde ifade edilir:
Gözlem sayısı arttıkça ana eğilimi pozitif ve negatif yönde sapmaya zorlayan geçici ve tesadüfi sebeplerin etkileri daha büyük ölçüde birbirini yok edecek yığın olayının ana eğilimi gerçeğe daha yakın olarak belirir. Başka bir deyişle gözlem sayısı arttıkça olay üzerinde pozitif yöndeki etkilerin negatif yöndeki etkilere oranı gittikçe 1’ e yaklaşır, Büyük Sayılar Kanunu her yığın olayı normal veya anormal koşullar altında aynı derecede geçerlidir.
c. Genel Yargılar: İstatistik yığın olaylarını inceler. Olayın bir özelliğinin belirtilmesi veya olay hakkında bir genel yargının ortaya konması için gözlem sayısının veya yığını oluşturan birim sayısının yeteri kadar büyük olması gerekir. Bu, büyük sayılar kanununun gereklerindendir.
d. Zaman ve yer: İstatistiğin ortaya koyduğu genel yargıların ancak belli bir yerde ve zamandaki bir yığın için doğru olup başka yer ve zamanlar için bir değer taşımadığı şeklindeki yargıda hatalıdır. Aynı nitelikte ve yeteri kadar büyüklükte alındığı taktirde bir yığın olayı için bulunan bir genel yargının zaman ve yer değişikliği ile değerinden birşey kaybetmediği görülür.
Sonuç olarak, istatistik bağımsız bir bilim kolu olarak yerini almış bulunmaktadır.
İstatistiğin Tanımı
19.yüzyılda Belçikalı İstatistikçi Quetelet 100’ü aşkın değişik istatistik tanımının varlığını ortaya koymuştur. 1896 yılında La Haye uluslar arası istatistik kongresinde. Alman istatistikçi Engel birbirinden farklı 180 tane istatistik tanımı belirlediğini ifade ederek adete istatistik tanımlarının istatistiğini yapmıştır.
Yapılan istatistik tanımlarından birkaçı aşağıdadır:
Yığın olaylarını inceleyen ve bunlara ilişkin genel bağıntıları belirtmeye çalışan bir bilimdir.
Çok sayıda dış etkene bağlı nesne, varlık ya da olayların sayısal dökümü yapılabilen özelliklerini, incelemeye yarayan bir teknik ya da yöntem kümesidir.
Yığın olayların belli amaçlarla gözlemlenmesi sonucu elde edilen verilerin sayısal biçimde işlenmesini sağlayarak, sözkonusu olayların oluşturduğu yığınların bilimsel bir şekilde incelenmesinde kullanılan teknik ve yöntemler bilimidir.
Çağdaş anlamda istatistik kısaca “Bilimsel karar ile bilimsel eyleme ışık tutan teknik” diye tanımlanabilir.
İstatistik Sözcüğünün Kökeni
“İstatistik” sözcüğünün İtalyanca’da devlet adamı anlamına gelen “statista” sözcüğünden alındığı ifade edildiği gibi, Latince de durum anlamına gelen “status” kökünden türetildiğine de inanılmaktadır. Yunanca’da gözlem için kullanılan “startizein” sözcüğünden kaynaklandığı inancında olanların yanında 15.yüzyılda İtalya’da devletin siyasal durumu anlamındaki “stato” kökünden kaynaklandığı görüşünde olanlar da vardır.
“İstatistik” sözcüğüyle ilgili olarak kesin bilinen, Alman bilimcilerin 18.yüzyıl başlarında devletin durumuyla ilgili sayısal bilgiler için ilk kez “Statistik” deyimini kullanmış olmalarıdır.
Türkiye’de Cumhuriyet döneminde yerleşmiş olan istatistik sözcüğüne karşılık olarak, Osmanlı İmparatorluğunda “ihsaiyat” deyimi kullanılmıştır.
İstatistik Kuramın Gelişmesi
i.) 17.yüzyıl ortalarında Alman Üniversitelerinde okutulan “Devlet Bilgisi” dersi ile başlangıç böylece devlet “status” sözcüğünden türüyen “istatistik” sözcüğünün ortaya çıkışı sayılara dayanmadan devletin betimlenmesi üzerinde duran bu okulun önde gelenleri Con ring, Archenwell, Schmeitzelldir ii) Daha sonra İngiltere’de ve kısmen Almanya’da ortaya çıkan “Sigorta Matematikçileri Okulu” önde gelenleri Graunt,Pethy,Halley,Süssmilch olan bu okul, dogum, ölüm gibi nüfus olaylarını sayısal verilere dayanarak çözümler. iii) Kökeni Pascal’da ,Galileo’da aransa da ”Büyük Sayılar Kanunu “ile gerçek öncülüğü Bernouilli’nin yaptığı olasılık hesabını geliştiren okul Bernouilli’yi de Moivre, Laplace, Lagendre, Gauss, Poisson, Bienayme izler. İv) Bu okulların düşüncelerini birleştirerek tümdengelimci istatistiğe, tümevarımcı istatsitiği katarak çözümlemeye ağırlık veren okul ve temelini atan Quetelet’dir. Ardından Galton, Pearson, Spearmann,Fisher ve daha inceleri gelir.v) Son olarak bu okullara başta Benzerci olmak üzere çok değişkenli çözümlemede betimsel istatisteğe yeni boyutlar kazandıran Fransız okuluda eklenebilir.
İstatistik Araştırmanın Amacı
Rastlantıyı göz önünde tutarak olayları belirleyen genel yasaları, genel eğilimi ortaya çıkarmak, ana nedenleri aramak, olaylar arasındaki ilişkileri bağlantıları bulmak, böylece türlü yönetim, bilim ve teknik dallarında yapılacak kestirimlere, öngörülere, alınacak kararlara, girişilecek eylemlere yardımcı olmaktır.
Günümüzde İstatistiğin Önemi
Günümüzde hükümetler politikalarını förmüle etmek ve aldıkları kararları desteklemek, politikacılarda halkı ikna etmek için istatsitikleri temel almaktadır. Tıbbı araştırmlarda hastaların teşhişinde ve yeni ilaçların yan etkilerinin ortaya kaonulmasında istatiksel teknikler kullanılmaktadır. Ekonomi, işletme ve kamu yönetiminde istatistiğin kullanılması son yarım yüzyıl içinde olaganüstü bir gelişme göstermiştir. İstatiksel yöntem sosyal bilimlerin bütün dallarında hemen hemen tek pratik çalışma aracı durumundadır.
iSTATİSTİK TABLOLAR
3
3.1 Tablo Tipleri. Verilerin istifadeye sunulmasında kullanılan çeşitli istatistik tablolar; genel tablolar ve analiz tabloları olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Genel tablolar, olay hakkında ayrıntılı ve tasviri bilgiler için düzenlenen tablolardır. Analiz tablolarında olay hakkında özet bilgilere yer verilerek önemsiz veriler ihmal edilir.
İstatistik tablolarda veriler belli bir sıraya göre yer alır. Verilerin sıralanması ihtiyaca göre şekil alır. Verilerin özel bir sıraya konması incelemeyi kolaylaştırır. Verilerin sayısı ne kadar çok olursa olsun tablo halinde istifadeye sunulmasında bir güçlük ortaya çıkarmaz. Bundan başka, çok sayıda dizilerin mukayesesi ancak tablo ile mümkündür.
3.2 Tablonun Kısımları. Birbirlerinden farklı çeşitli istatistik tablolar bulunmakla beraber bütün tablolarda şu kısımlar mutlaka yer alır: 1. Tablonun adı, 2.Başlık, 3.Ön sütun , 4. Gövde.Tablonun bu ana kısımları Tablo 1 de görülmektedir.
Tablonun Adı. Tablonun adı, tablodaki verilerin niteliğini, nereye ve ne zamana ilişkin olduğunu açıklamalıdır. Ancak, ad için çok uzun ifadelere kaçılması doğru olmaz. Gerekirse açıklıktan biraz fedekarlık yapılarak çok uzun olmayan bir ifade tercih edilir.
Başlık, Sütunlardaki maddelerin ve verilerin niteliğini gösterir, ifadelerdir. Başlığa, sütun adı da diyebiliriz.
Ön Sütun. Tablonun en solundaki sütununa ön sütun denir. Ön sütunda, belli bir sıra altında maddeler veya vasıflara ilişkin sınıflar yer alır.
Tablo 1
Sayım Yılları İtibariyle Bazı Şehirlerimizin 1
Nüfusları,1927-1970
(D.İ.E.1 İstatistik Yıllığı 1968 Sahife 32) 1000 olarak
2
Yıllar
İstanbul
Ankara
İzmir
Adana
Bursa
Gaziantep
Eskişehir
Konya
1927
1935
1940
1945
1950
1955
1960
1965
19722
691
741
794
861
983
1269
1467
1743
2248
75
123
157
227
289
451
650
906
1209
154
171
184
198
228
297
361
412
521
73
76
88
101
118
169
232
290
352
62
72
78
86
104
129
154
212
276
40
51
57
63
72
97
124
160
216
32
47
61
80
90
120
153
174
201
47
52
56
58
64
92
120
158
226
D.İ.E = Devlet İstatistik Enstitüsü
Geçici verilerdir.
Gövde. Tablonun başlık ile ön sütunu tarafından çevrelenen kısmıdır. Gövde verilerin yer aldığı ve satır sayısı ile sütun sayısının bir eksiğinin çarpımı kadar verinin yazılabileceği yer bulunan kısmıdır. Bunlardan bazılarının boş kalması veya hepsinin dolu olması mümkündür.
3.3 Tablo Düzenlenirken Göz Önünde Tutulması Gerekli Bazı Noktalar.
Bir istatistik tablosu düzenlenirken aşağıdaki noktaların göz önünde tutulması faydalı olur:
Basitlik. İstatistik tablolar mümkün olduğu kadar basit olmalıdır. Basit tablo, ön sütun ve başlıkta yalnız bir vasfın sınıflarının yer aldığı tablodur. 1 sayılı tablo basit ve 2 sayılı tablo ise bileşik bir tabloya örnek olabilir. Özellikle istatistik bilgisi sınırlı olan kimselerin yararlanması için düzenlenen tablolarda basitlik önemle ele alınacak bir noktadır. Karışık tablolara gidildikçe gereken faydanın sağlanması güçleşir.
Kaynak. Kitap broşür ve diğer benzeri yayınlardaki istatistik tablolarda yer alan veriler, çok kez, yayımı yapanın uyguladığı bir metotla elde ettiği bilgiler değildir.
Başka kuurmların elde ettiği veriler aynen bazı işlemlere tabi tutularak alınabilir. Bu gibi hallerde verilerin kaynağı hakkında açık bilgi verilmelidir. Çünkü, bu verileri kullanacak olanlar onların ne çeşit bir metotla elde edildiği, doğruluk dereceleri, kavramlar için kullanılan tarif ve açıklamalar ve benzeri diğer hususlar hakkında bazı bilgilere ihtiyaç duyabilirler. Bu gibi hususlar hakkında yeterli bilgi edeinmeden verilerden gerektiği şekilde faydalanmak mümkün olmaz. Bunun için, kaynakla ilgili olarak, yayımı yapanın adı, yayının adı, aktarılan verilerin bulunduğu sayfa numarası veya tablo numarası, yayım yeri ve tarihi açıklanır.
Kaynak hakkında verilen açıklama, kısa olmak şartiyle, tablonun adının altına yazılır (Tablo 1). Açıklama uzun olduğu takdirde dipnot yerine veya tablonun uygun bir aşka yerine yazılır.
Tablonun şekli ve büyüklüğü. Bir istatistik tablosunun şekli ve büyüklüğü şu faktörlere göre belirir:
1. Tablonun yer alacağı yayının sayfa büyüklüğü. Bir tablonun şekli ve büyüklüğü, her şeyden önce, yer alacağı yayına uygun olmalıdır.
2. Sütun sayısı ve genişlikleri. Tablonun genişliği sütun sayısı ve genişlikleri ile belirir. Geniş tablolar, incelemeyi zorlaştırdığı için, tercih edilmemelidir. Özellikle satır aralıları küçük olan geniş tablolarda sağdaki sütunlarda yer alan bir verinin hangi sınıf veya maddeye ilişkin olduğunun anlaşılması zorlaşır. Geniş bir tablo düzenlemek zorunda kalındığı takdirde ön sütundaki maddelerin,aynı sıraya göre son sütunda da gösterilmesi incelemeyi kolaylaştırır (Tablo 3).
Bazı hallerde verilerin bin veya milyon olarak alınması, ihtiyacın karşılanması bakımından, sakıncalı sayılmaz. Böylelikle tablo genişliğinden önemli bir tasarruf sağlanır (Tablo 3).
3. Satır sayısı. Bir tablonun uzunluğu, ön sütunda yer alan madde veya değer sınıfı sayısına göre belirir. Madde veya sınıf sayısı, bazı hallerde, bir sayfaya sığmayacak kadar çok olabilir. Bu taktirde tablo birden fazla sayfa kapsar (Tablo 58). Tablonun boyunun uzaması veya birden fazla sayfa kapsaması genişliğinin artmasından daha az sakıncalıdır.
Bununla beraber tablonun mümkün olduğu kadar kısa olamasına çalışılır. Özellikle madde sayısı çok olan( ayrıntılı meslek veya faaliyet kollarına göre nufüs, maddelere göre ithalat veya ihracat tablolarında olduğu gibi) bir tabloda satır aralıkları dar tutulur. Ancak, sütun sayısı çoğaldıkça satır hizalarını seçmek zorlaşacağınadan her 5 veya 10 sık satırdan sonra satır aralığının genişletilmesi ile bu sakınca azaltılır.
İstatistik tablolarda, satır çizgisi kullanılmaz. Sadece, toplamlar iki çizgi arasında gösterilebilir. Toplamlar.genellikle, tablonun altında gösterilmekle beraber bazen birinci satıra alınarak altına bir satır çizilir.
Tablo numarası. Özellikle, bir yayında fazla sayıda tablo bulunursa bunlara bir sıra numarası verilmesi uygun olur. Aksi taktirde, metinde zaman zaman söz konusu edilecek tabloların uzun adlarının tekrarlanması zorunda kalınması, psikolojik yönden önemli bir sakıncadır.
Kısaltmalar ve denden( “ “) işaretleri. Tablolarda kısaltmalardan kaçınılmalıdır. Tabloyu düzenliyen kimse için anlamı pek belli olan bir kısaltma, tablodan faydalanması beklenen kimselerden çoğunun anlayamadığı bir kısaltma niteliğinde olabilir. Aynı ifade veya verilerin alt alta gelmesi halinde(“ “)işaretleri kullanışamyıp ifade veya veriler aynen tekrarlanarak yanlış anlamlara yol açılması önlenir.
Önemli maddelerin belirtilmesi. Özellikle analiz tablolarında, önemli verilerin göze çarpacak şekilde gösterilmesi uygun olur. Bunun için aşağıdaki iki yoldan faydalanılır:
a. Önemli sayılan verilere gövdenin sol ve üst tarafında yer verilir. Toplamlar önemli sayılıyorsa birinci satıra yazılır.
b. Önemli sayılan veriler diğerlerinden daha koyu mürekkeple yazılmak suretiyle göze çarptırılır. Mümkün olduğu takdirde değişik renklerden de faydalanılabilir.
Mukayese kolaylığı. Tabloda birbirleriyle mukayese edilecek veriler bulunduğu taktirde verilerin bu işi kolaylaştıracak şekilde tabloda yer alması gerekir. Bu bakımdan, aşağıdaki hususlara dikkat edilmesi faydalı olur:
Alt alta olan verilerin mukayesesi, yan yana olanlarınkinden daha kolaydır.
İki veya daha fazla dizinin mukayesesi yan yana gelen sütunlarda daha kolay olur. Dizilerin alt alta satırlar şeklinde bulunması mukayeseyi zorlaştırır.
İster aynı satırda, ister aynı sütunda bulunsun, mukayese edilecek veriler bir birinden uzaklaştıkça mukayese zorlaşır.
Ölçü bitrimleri. Bir tablodaki bütün veriler aynı ölçü birimi ile ölçülen değerler niteliğinde iseler ölçü birimi, başlıklar üst çizgisinin üzerinde uygun bir yerde açıkalnhır. Bir sütundaki veriler aynı ölçü birimini haiz, fakat sütundan sütuna ölçü birimi değişiyorsa ölçü biriminin niteliği başlıkta açıklanır( Tablo 10). Nihayet, ölçü birimleri sütunlara göre değil satırlara göre değişiklik gösteriyorsa ön sütunda madde adından hemen sonra ölçü biriminin adı yazılır.
Verilerin yuvarlaklaştırılması. Orijinal veriler çok büyük, fakat ihtiyaç bakımından birler basamağına kadar gösterilmesi lüzumsuz ise veriler bin veya milyon olarak tabloya alınır( Tablo 2). Gerçi bu ikisi arasında diğer yuvarlak değerler de (10, 100, 1000 gibi) seçilebilirse de uygulamalarda daha çok bin veya milyon tercih edilmektedir. Bir çok hallerde de veriler mesela, yüzbin cinsinden gösterilmek istense bile bunun yerine milyon cinsinden, fakat , bir basamak kesirli alınması daha pratik sayılır. Verilerin bin veya milyon cinsinden anlaşılması 100, 1000 veya bir başka yuvarlak değer cinsinden anlaşılmasından daha kolaydır. Veriler, genellikle, yaklaşık değerler olduğundan bazı hallerde birler basamağına veya kesirlerine kadar gösterilmesi gülünç olur.
Verilerin yuvarlaklaştırılması bazı hatalara yol açar. Ancak her madde veya sınıf için yapılan pozitif veya negatif yöndeki hatalar kısmen bir birini yok edeceklerinden yuvarlak değerlerden hesaplanan toplam, ortalama, nispet ve benzeri diğer değerlerin hatası nispeten küçük olur. Genellikle, sınıf veya madde sayısı arttıkça verilerin yuvarlaklaştırılması ile bunlar dayanarak hesaplanan istatistiklerin bu yüzden taşıyacakları hata payı küçülür. Bununla beraber, varsa toplam ortalama ve benzeri istatistiklerin orijinal veriler yuvarlaklaştırılırken 0,5 den büyük kesirler 1 birim sayılır ve 0,5 küçükler atılır. Tam 0,5 olan kesirli değerler için kesirden önceki rakam tek ise 1 birim çift ise sıfır birim kabul edilmek suretiyle hata azaltılır.
Tablolarda Kullanılan İşaretler. Tablolarda bazı ortak işaretler kullanılır. İşaretlerde uluslar arası bir uygulama için çalışılmaktadır. Bir çok kimseler buna uymakta iseler de ortak işaretler dikkate alınmadan düzenlenen bir çok tablolara da hala rastlanmaktadır. Birleşmiş Milletler İstatistik Şubesi üye memleketlere, tablolarda çeşitli maksatlar için aşağıdaki işaretlerin kullanılmasını tavsiye etmektedir:
(.) Söz konusu değil. Örneğin, yaşa göre medeni hale ilişkin tablolarda evlenme çağının altındaki nüfus için (.) işareti kullanılır.
(...) Veriler elde edilmedi.
( -) Madde veya sınıfın değeri sıfır.
(0,0) Değer, kullanılan birimin yarısından küçük .
Bütün istatistik tablolarda aynı kavram için aynı işaretlerin kullanılması ile tablolardan daha kolay yararlanma imkanı sağlanır. İşaretlerin ne anlamda kullanıldığının, yayının uygun bir yerinden açıklanması gerekir.
3.4 Verilerin Sıralanması. Tablolarda, verilerin bazı esaslara göre bir düzen altında yer aldığına işaret etmiştik. Veriler için uygulanan bir çok sıralama şekilleri vardır. İhtiyacı en iyi karşılayan veya olayın niteliğine en uygun sıralama seçilir. Başlıca sıralama türleri şunlardır:
Büyüklük. İncelemeyi kolaylaştırmak için, çok kez, kantatif vasıflar ilişkin bireysel değerler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıraya konarak bir sıralı dizi haline getirilir. Veya çokluk bölünümlerinde belli değer sınıflarına göre gruplara ayrılır. Bunun sonucu olarak veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru değer sınıflarına göre sıralanmış olur. En çok analiz tablolarında kullanılan bu sıralama şekli olayın zaman içindeki akımının önemli sayıldığı hallerde uygulanamaz.
İstatistiğin Faydaları
İstatistik metodlarının iki fonksiyonu vardır: Birincisi
Bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak. İkincisi
Bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı
Olmak.
İstatistiğin Uygulama Alanları
Çağımızda sayısal bilgi toplanabilen her araştırma alanında istatistik yöntemler kullanılır:Toplumsal olayların gelişimi, davranış psikolojisi, otomatik üretim süreçleri, bilgisayarlar gibi büyük teknik sistemlerinin yönetimi, jeolojik süreçler, gazlardaki karmaşık olgular, sinir sisteminin işlevleri, beynin yansıtıcı ve yönlendirici çalışmaları istatistik yöntemlere başvurulmadan incelenemezler. Biyoloji,antropoloji, sosyoloji, psikoloji, iktisat, işletme, tıp, kuantum fiziği, biyolojik vb.... özetle tüm bilim dalları, yöntem kuruluşları, teknoloji, iş ve piyasa araştırmalarında istatistikten yararlanılır.
Örnek verecek olursak
Kamu Hizmetlerinin Görülmesinde İstatistiğin Rolü
Mesela; Milli Eğitim politikasının gerektirdiği şekilde planlanıp en yararlı bir şekilde uygulanabilmesi için gelecek yıllarda ilk, orta ve yüksek tahsil çağında bulunan kimselerin sayılarının bilinmesinin, bunlara tahsil imkanı sağlanabilmesi için ne kadar öğretmene, okula ve eğitim-öğretim araçlarına ihtiyaç olduğunun belirlenmesinde kullanılır.
Bilimsel Araştırmalarda İstatistiğin Rolü
Bilimsel araştırmalarda istatistik önemli bir rol oynamaktadır. Özellikle, deneysel araştırmalarda, bir hipotezin kabule değer olup olmadığının belirtilmesi ve araştırma sonuçlarının objektif olarak yorumu ancak modern istatistik metotlarına dayanmak suretiyle mümkündür. İst. Metoduna dayanmayan araştırmalar va bunlarla ulaşılan sonuçlar bilimsel sayılmamaktadır.
BÖLÜM :1
PSİKOLOJİDE İSTATİSTİK
İstatistik teorisi uygulamalı matematiğin bir parçasıdır. O halde istatistik teorisi, psikoloji disiplininin içinde değildir. Bununla birlikte, modern psikolog, istatistik teorisinin hiç değilse temel bilgilerini bilmeyi faydalı bulur. İstatistik öğrenme, psikoloji alanında yetişmenin vazgeçilmez bir parçasıdır. İstatistik teorisi, modern psikoloji araştırmalarıyla şöyle bir tanışıklık isteyen birisi için bile faydalıdır. Psikolojide, başkalarının araştırmalarını anlamak ve değerlendirmek açısından olduğu kadar, kendi araştırma bulgularının sonuçlarını bildirmek ve yorumlamak açısından da istatistik bilmek önemlidir. İstatistik bilgisi, psikoloğa, fiilen gözlediği verilerin ötesine ne ölçüde geçebileceğini değerlendirmek için birtakım analiz aletleri kazandırır.
BETİMSEL İSTATİSTİK
Sokaktaki adam bir istatistikden(istatistik değerden) söz ederken, bir durumu betimleyen bir sayıyı kasteder. İstanbul caddelerinde bir günde meydana gelen trafik kazalarının ortalama sayısı işte bu anlamda bir istatistiktir(istatistik değerdir). Mart 1990’da Türk Ordusundaki asker sayısı bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Üniversite öğrencilerinin ortalama mezuniyet yaşı yerine bir başka istatistiktir(istatistik değerdir). Bir istatistik (istatistik değer) şu veya bu şeyin sayısal durumunu betimler.
İstatistik teorisinin büyük ve önemli bir kısmı, sayısal veri topluluklarını betimlemekle uğraşır. En faydalı olmak ve en kolay bildirilmek için, bir veri topluluğunun toparlanması ve özetleme biçimleridir. Betimsel istatistik teorisi,verileri betimlenin çeşitli biçimlerindeki bilgi ile ve verileri çeşitli biçimlerde sunmanın göreceli verimliliği ile uğraşır.
Örneğin, bir psikolog, bir grup spor yapan erkek lise öğrencisinin ve bir grup spor yapmayan erkek lise öğrencisinin mesleki amaç ve ilgilerini karşılaştırmak isteyebilir. Bununla ilişkili verileri toplayınca, iki grubun herbirini nasıl betimleyeceğine karar vermelidir. Çok büyük miktarda potansiyel bilgi, grupların bir bütün olarak kolayca kavranabilir birkaç özelliği içine sıkıştırılmak zorundadır. Ondan sonra, psikolog, grupların nasıl karşılaştırılacağı meselesiyle uğraşmalıdır. Karşılaştırmanın esası ne olacaktır? Eğer gruplar arasında farklar varsa, bu farklar en açık bir şekilde nasıl gösterilecektir? Gruplar arasında şu veya bu tarzda sayısal karşılaştırmalar yapılmalı mı? Veriler grafikle mi en iyi sunulabilir? Spor yapan bir erkek lise öğrencisinin tipik ilgi örgüsü bulunabilir ve spor yapmayan tipik bir erkek lise öğrencisinin farklılığı gösterilebilir mi? Bütün bu sorular betimsel istatistik göstergelerinin seçilmesi ve kullanılması ile ilgili sorulardır.
Bundan sonraki iki bölümde esas itibarıyla, en çok kullanılan betimsel istatistik göstergelerle uğraşacağız. Verilerin hem grafik hem sayısal özetlenmeleri üzerinde duracağız. Ancak şunu da eklemek gerekir ki bu metodlar, başvurulması mümkün betimsel tekniklerden seçilmiş sadece birkaç tanesidir;veri,lerin farklı amaçlarla toparlanması ve bildirilmesi için çok çeşitli istatistik teknikler geliştirilmiştir. Burada ana çizgileriyle verilen teknikler, sırf çok karşılaşıldıkları için değil, aynı zamanda, daha genel matematiksel istatistik teorisinde merkezi roller oynadıkları için seçilmiştir.
MUHAKEME İSTATİSTİĞİ
Betimsel istatistiğin incelenmesi, veriler hakkında bildirimde bulunmak için bir dil kazandırır. Betimsel istatistik daima, bir deneyicinin topladığı belirli veri topluluğu ile uğraşır. Betimsel istatistiği kullanmada deneycinin görevi, o verilerin gösterdiği şeyi yakalamak ve bildirmektir.
Bunu yapınca deneycinin ilgisi sona ermez. Bir bilim adamı olarak deneyci, doğadaki ve davranıştaki düzenlilikleri bulmaya ilgi duyar. Bu düzenliliklerden genel prensiplere- bundan sonraki gözlemlerin sonucunu önceden kestirmeye imkan veren prensiplere- ulaşmayı ümit eder.
Bilim adamı, koşulan şartların var olduğu her zaman geçerli olması beklenebilecek genel ilişkileri arar. Bu ilişkiler, etrafımızdaki dünya gözlenerek keşfedilir ve doğrulanır.
Öte yandan , hiçbir ölümlü bilim adamı, genel bir sonuç çıkarmak istediği olayların hepsini asla gözleyemez. Genel sonuca, sınırlı sayıda gözlemlere dayanarak varmak zorundadır. Bilim adamı, gözlediği özel şeylerden genel bir sonuca ilerler. Özelden genele gitme süreci tümevarım olarak bilinir. İşaret etmek gerekir ki özel gözlemlerden genelleme süreci çok riskli olabilir. Bilim adamının yaptığı herbir gözlem, bilim adamına, o tür gözlemlerin hepsini yapabildiği takdirde elde edeceği izlenimlerden farklı bir izlenim verebilir.
Ancak sınırlı sayıda gözlemler yapma zorunluluğu ile yüzyüze kalan bilim adamı, gerçek veya uzun vadedeki durumun niteliği hakkında ancak bir tahmin olarak genel sonuçlara varabilir. Gözlemlerine dayanarak bir çeşit genel sonuca ulaşabildiği zaman bile bilim adamı,haklı olduğundan emin değildir, şu veya bu derecede kayıtsızlık duyar.
İste bu noktada istatistik, bilim adamının çalışmasına en değerli ve enteresan katkılarından birini yapar. Muhakame istatistiği teorisi, özel kanıtlardan genel sonuçlara varmak için metodlar sağlar. Bu teori, bilim adamlarına, belirli bir veri toplululuğuna dayanarak ne gibi kararlar vermesi gerektiğini söylemez. Ama sonuçlara ulaşmada işe yarar yolların seçimi hususunda deneyciye rehberlik eder. Bunun da ötesinde, istatistik teorisi, olasılık teorisinden yararlanarak bilim adamına, bir veri topluluğundan belirli bir sonuca varırken girdiği riski hesaplama imkanını verir.
Her ne kadar bu kitapta, muhakeme istatistiği teorisine ancak kısaca değinilecekse de, öğrenci, psikologların ve başka bilim adamlarının, verilere dayanarak istatistik tahminler yapma yolları hakkında bir miktar bilgi edinecektir. Bu bilgiyi edinebilmek için öğrencinin, basit şekliyle olasılık teorisiyle biraz tanışıklığı olmalıdır. Bunun için, kitabın 4 . bölümü öğrenciyi temel olasılık kavramlarıyla tanıştırmak için düzenlenmiştir. Bu kavramlar, sonraki bölümlerde tartışılan muhakeme metodlarının temelini oluşturacaktır.
İSTATİSTİĞİN FAYDALARI
İstatistik metodların, psikoloğun çalışmasına sadece bir ilaveden başka bir şey olamdığını, psikoloji öğrencisi daha ilk baştan anlamalıdır. Yukarıda söylendiği gibi, istatistik metodların iki fonksiyonu vardır: Birincisi, bilim adamına, bulgularını bildirirken yardımcı olmak ve ikincisi, bilim adamının verilerin ötesinde daha genel sonuçlara gitmesine yardımcı olmak. Böyle olmakla birlikte, yaptığı deneyin ve topladığı verilerin gerçek değerinin, bilim adamının kullandığı istatistik aletlerle hiçibir ilgisi yoktur. Bir istatistik metodun uygulanması, fena bir deneyi iyi bir deneye dönüştüremez. Şunun ve şunun doğru olduğuna verilerin bizi inandırma gücü, deneyin kritik bir tarzda düzenlenmiş olmasından ve bir bütün olarak mantığından ileri gelmez. Araştırmaya yeni başlayanların bunu hatırdan çıkarmaması özellikle önemlidir. Öte yandan, iyi tasarlanmış ve yapılmış bir deneyde istatistik Metodlar, deneyin anlamını açıklığa kavuşturmada ve varılan sonuçların genelleştirmeye elverişli olduğunu göstermede son derece yardımcı olabilir.
İstatisitiğin uygulamaları bütün araştırma alanlarında, fizik bilimlerde, biyolojik bilimlerde, mühendislikte, iş ve piyasa araştırmalarında ve başka alanlarda görülür. Farklı alanlarda fiilen kullanılan metodlar farklılıklar gösterse de, bu metodların hepsi aynı temel istatistik teorisine dayanır. Bundan sonraki bölümlerde birtakım istatistik metodlar ana çizgileriyle verilecektir. Bu metodlar iki anlamda temeldir. Birinci olarak, bu metodlar psikolog
SIRALAMA AKSİYOMLARI
Uzunlukları mukayese ederken ve onları kaydederken sayılarla ilgili insanoğlunun ilk kullandığı kavramlardan biri sıralamadır. Buna göre büyük sayılar büyük uzunluklara karşılık getirilir. Şüphesiz sayılara bir kümenin elemanları karşılık getirilerek işe başlanabilirdi. Fakat bu sadece tam sayıları verirdi. Diğr taraftan uzun fikri sadece rasyonel sayıları değil ,, e sayısı, gibi irrasyonel sayılarıda verir. Bu gibi geometrik fikirler asırla boyunca geliştirilirken matematiçiler gerçel sayıları, gerçel sayılar doğrusu ile bağdaştırmışlardır.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Şekil: Gerçel Sayı Doğrusu
Şeklin temel bir özelliği verilen a ve b gerçel sayı çiftinden birisinin diğerinin solunda bulunmasıdır.Buna göre “solunda bulunma” deyimi bir bağıntı olarak düşünülebilir.
BAĞINTI
A ve B kümeleri verilmiş olsun. A’nın bazı ögelerini , B’nin bazı ögelerine bağlayan bir kurala A’dan B’ye (A B) bir bağıntıdır denir.
Örnek:
E ve K kümelerinin ögeleri arasında bir bağıntı “evlilik ilişkisi” olsun.
R= { (x,y) I xЄ E, yЄK ve x ile y evlidir}
Bu örnekte olduğu gibi R kümesi bir bağıntı örneğidir.
SIRALAMA BAĞINTISI
Bir cümlede tanımlanan bir bağıntının yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa bu bağıntıya “sıralama bağıntısı” denir.
Yansıma özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
x (xЄA için (x,x) Є β ise β yansıyandır.
Ters simetri: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda ya da
x=y olmalıdır
(x,y) ([xy (x,y) Є β] (y,x)β) ise β bağıntısı ters simetriktir
Geçişme özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β : x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
[((x,y) Є β (y,z) Є β) (x,z) Є β )] ise β bağıntısı geçişlidir.
Bir A cümlesinde bir sıralama bağıntısı varsa bu cümleye “sıralı cümle” denir.
Bir cümlede tanımlı sıralama bağıntısı simgesiyle gösterilir.
(x,y) Є x y
x y ifadesi sıralamasına göre x y’den önce gelir veya x,y’ye eşittir diye okunur. xy ifadesi y x biçiminde de gösterilir. Özel olarak x
Buna trikotomi denir.
*a,b Î IR olmak üzere a>b Û reel sayı ekseni üzerinde a, b nin sağındadır.
· x >0 Û x, 0 ın sağındadır.
· a>b Û a-b>0 dır.
· a>b Û a=b+h olacak şekilde pozitif bir h sayısı vardır.
² = ² sembolü yerine ²<, > ,£ ,³ ² sembollerinden birinin bulunduğu önermelere eşitsizlik denir.
< ,> sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere kuvvetli eşitsizlikler; £, ³ sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere zayıf eşitsizlik denir.
3x+5>7 şeklinde içerisinde bilinmeyen bulunduran eşitsizlikler açık önermedir; 6<9 a="b" 10=" 39" 21=" 10x" 0=" x2" x4 =" a+" ax2="b" a="bx2" mx="n" mx2="n" mx="n" x3="15x+4’ü" x="4">
ALGORİTMA
Tanım: Kelime anlamı olarak algoritma; bir sonuç elde etmek için kullanılan yöntemin bu sonuç elde edilinceye kadar sürdürülmesidir. Başka bir deyişle algoritma belirli bir kurala bağlı olan her türlü hesap işlerine verilen addır.
Matematikte ise algoritma bir sorunun yanıtını ya da bir problemin çözümünü sonlu sayıda aşmada veren sistematik yöntemdir.
Algoritma kelimesi IX.yy’ın başında yaşamış olan ünlü Türk matematikçilerinden Muhammed ibni Musa El-Marezini”nin isminden türetilmiştir. Avrupalıların El-Marezmi’nin ismini “Alkhorismi” biçiminde söylemlerinden Algoritma kelimesi doğmuştur.
Çok çeşitli algoritmalar vardır. Örneğin iki sayının en büyük ortak bölenini bulma “öklid algoritması” olarak bilinir. Ayrıca bilgisayar alanında ve otomatik hesap makinalarında algoritmalardan çokça yararlanılır.
* Basit bir algoritma örneği; Bir sayının karekökünü bulma
324 sayısının karekökünü basit işlemlerle bulmaya çalışalım;
ilk önce bir tahmin yapılır. Tahmin edilen sayı 15 olsun
Tahmin doğruluğu denenir 324 ÷ 15 = 21,6
Çıkan sonuçla tahmin edilen 31.6 + 15 = 36.6
Sayının ortalaması alınır. 36.6 ÷ 2 = 18.3
Yeni sonuç tekrar denenir 324 ÷ 18.3 = 17.7
Tekrar ortalama alınır 17.7 + 18.3 = 36
36 ÷ 2 = 18
- Yeni sonuç tekrar denenir. 342 ÷ 18 = 18
Tahmin edilebildiği gibi algoritmalarla hesap makineleri arasında sıkı bir bağ vardır. Öyle ki makineyle yapılabilen herhangi bir işlem bir algaritma şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde şimdiye kadar kurulmuş bütün algoritmalar hesap makinasıyla yapılabilir.
Bununla birlikte bilgisayar alanında da problem çözümü için algoritmalardan oldukça fazla yararlanılır.
Bilgisayar kullanarak problem çözerken ilk yapılacak iş problemi anlayarak analiz etmek ve çözüm yollarını ortaya koymaktır. Bilgisayarlar henüz problemin nasıl çözüleceği konusunda insanlara yardımcı olamıyor. Sadece insanların çözüm için gösterdiği yollardan giderek komutları hatasızca uygulamaktadır. Bilgisayarın doğru sonuca ulaşabilmesi için kendisine gösterilen çözüm yolunda hiçbir belirsizlikle ve karışıklıkla karşılaşmaması gerekir. Bu nedenle hazırlanacak çözüm yolunda her türlü detay bulunmalı ve karşılaşılabilecek değişik durumlarda bilgisayarın çözüme nasıl devam edeceği bildirilmelidir.
Problem çözümü için bilgisayara verilen çözüm yöntemleri birer algoritmadır.
* Bir algoritmada olması gereken özellikler;
Sonluluk (Bir algoritma ancak sonlu sayıda adımlarla gerekli sonuca götürürse gerçeklenebilmesi mümkündür).
Kesinlik (Bir algoritmada belirsizliklere yer verilmemelidir).
Genellik (Bir algoritma sınırlı sayıda belirli kurallardan oluşmalıdır).
Şimdi şu örneğe bakalım
Sayıların karesini almak
A = O (A’ya O değerini ver)
B = A x A (A’yı kendisiyle çarp ve B’ye bulduğun değeri ver)
B’yi yaz
A = A + 1 (A’nın değerini 1 arttır)
2. adıma dön.
Tarif sonlu sayıda kuraldan oluşmasına rağmen hiçbir zaman sona eremeyecektir. Bu tarifi uygulamaya çalışan bir kişi ya da bilgisayar O’dan başlayarak sonsuza kadar tüm sayıların karesini almaya çalışacaktır.
Belli bir yerde durmayı sağlamak için tarife yeni bir adım ekleyelim. Acaba bu sefer “algoritma” özelliklerini gerçekleştirebilecek miyiz?
A = O
B = A x A
B’yi yaz
A = A + 1
A çok büyük bir sayı ise dur
2. adıma dön.
Üstteki tarifi uygulamaya çalışan bir insan kedi büyük sayı kavramına göre belirli bir yerde duracaktır. Bu sayı kimisi için 500.000 kimisi için 1.538 vb. olabilir. Ancak bilgisayar için “çok büyük bir sayı” nedir? Bu belirsizlikten dolayı üstteki tarifte bir algoritma değildir. Örnekteki tarifimizi algoritma haline getirmek için “çok büyük sayı”yı 1.000 olarak seçelim.
O’dan 1.000’e kadar olan sayıların karesini alan algoritma:
A = O
B = A x A
B’yi yaz
A = A + 1
A > 1.000 ise dur
2. adıma dön.
Algoritma kavramının tam olarak matematik tarifi 1930’a kadar meydana getirilmemiştir. Bu demek oluyor ki asırlar boyunca matematikçiler tam olarak açık olmayan bir algoritma kavramına göz yummuşlardır. Matematiksel incelemeye yeterli derecede doğru bir tarif için ancak yakın zamanlarda ihtiyaç duyulmuştur. Daha öncelerde, kurulan sistemin herhangi bir veriye uygulandığı zaman aranan sonuca kendi kendine götürdüğünün gösterilmesi yeterliydi. Böylece her ne kadar her matematikçi algoritma kavramına dair temel bir fikre sahipse de kesin bir tarife ait ihtiyaç duyulmamıştır. Ancak matematikçilerin gitgide genelleşen problem tiplerini çözmek için gittikçe daha güçlü olan algoritmaları kurma isteklerinin başlaması “algoritma” kavramı üzerinde biraz daha fazla düşünmelerini sağlamıştır.
* Problem genelleştikçe algoritmasını kurmak göçleşir.
Az önce karekök almak için bir algoritma kullanmıştık. Bu problemi genelleştirirsek;
“verilen herhangi bir sayının herhangi kuvvetten kökünü bulmaya yarayan bir algoritma kurmak” Böyle bir algoritmayı kurmak daha güçtür. Daha da genelleştirirsek;
“Bir a sayısının n. kuvvetten kökünü bulma”
Bu problem Xn = a Xn – a = O denklemini çözme anlamına gelir.
Daha genel olarak aşağıdaki gibi problemi formüle edebiliriz. n Î Zx
an Xn + an-ı Xn-ı + ....... +aı + ao = o (Bittabi denk)
şeklindeki herhangi bir denklemin köklerini bulmaya yarayan bir algoritma kurmak.
Bu algoritmayı kurmak daha da güçtür. Gerçekten de denklemler teorisinin esas içeriği bu algoritmayı kurmaktan ibarettir bunu önemi büyüktür.
Verilen örnekler gittikçe daha genel tipten problemleri çözmeye, gittikçe daha güçlü algoritmalar bulmakta matematikçilerin çabasını göstermektedir. Yukarıdaki * şeklindeki bütün denklemleri çözme örneği gidilebilen sınır göstermez.
Bu şekilde gittikçe genelleşen algoritmaları sonuna götürmek istersek şu problemi göz önüne almalıyız.
“Herhangi bir matematik problemin çözülmesine ait algoritma kurmak”
Bu öyle bir genel problemdir ki bütün olarak matematiğe küstah bir meydan okuma sayılmıştır.
Sonsuz soru sınıflarının pek çoğu için algoritmalar geliştirilmiştir. Ancak kimi sonsuz soru sınıfları içinse bir algoritma bulunamamıştır. Örneğin Pierre de Fermat tarafından 1637’de ortaya atılan bir soru o zamanda bu yana matematikçileri uğraştırmıştır. Fermati; n > 2 olduğundan Xn + yn = zn eşitliğini sağlayan nı Xı Y ve Z tamsayılarını bulunmayacağını kanıtladığını öne sürmüş ama nasıl kanıtladığını açıklamamıştır. O günden bu yana bu teoremin ne kanıtına ulaşılabilmiş ne de yanlışlığını gösterecek bir örnek bulunabilmiştir. Böyle bir örnek bulunabilse aranan tamsayılara sonlu sayıda hesapla ulaşılabilir dolayısıyla bir algoritma oluşturulabilirdi.
BÖLÜNEBİLME
Tanım: a, b tamsayılar olmak üzer b = a t olacak şekilde bir t tamsayısı varsa a b’yi böler denir ve a / b yazılır. a X b sembolü de a’nın b’yi bölmediğini gösterir.
Bu tanıma göre a, b’yi bölerse a, b ‘nin bir bölenidir veya b, a’nın bir katıdır denir. Eğer a / b ve 1 < a =" o" a =" +"> o, b > o ise a <> o ve b tamsayılar için b = aq + r, o £ r <> o olduğu kabul edilmiş. Aslında bu hipotez gerekli değildir. Bu durumda teoremi “a ¹ o olmak üzere a, b tamsayıları için b = aq + r; o £ r < b =" aq" a =" 2" b2 =" 4k2" b2 =" 4k2" 1 =" 4k2" kalan =" O" a =" 3" a =" o" b =" c" b =" c" d =" (b,c)," d =" (b," d =" (a," e =" (ma," e =" ImI" d =" ax" md =" ma" e =" ImI" i =" (a," ise =" 1" d =" ax" 1 =" bulunur" d =" bx" b =" 10," c =" 6" d =" (10," x =" 2" y=" -3" 1 =" o" 1 =" o"> r1 >r2 > ....................... azalan dizisi sonsuz olamaz ve iyi sıralama prensibine göre bir en küçük elemanı vardır. Yani rj = O olacak şekilde bir j vardır.
Teorem: (Euclid Algoritması): verilen a, b tamsayıları için bölme algoritmasını aşağıdaki gibi ard arda uygulayalım
a = bqı + rı O < b =" rı" r2 =" r3" 2 =" rj" 1 =" rj" 10672 =" 4147." 4147 =" 2378.1" 2378 =" 1769." 1769 =" 609." 609 =" 551.1" 551 =" 58.9" 58 =" 29.2" 29 =" 10672" 29 =" 551" 9 =" 551" 9 =" 10" 609 =" 10" 609 =" 10" 2378 =" 39" 2378 =" 39" 2378 =" 39" 4147 =" 10672" x =" -" y =" 175"> o, a / m, b /m ve a ve b nin her n ortak katı için m / n olmasıdır.
Teorem :
Teorem : è= 1 dir
Teorem : (a, b) IabI (a ¹ o ve b ¹ o)
Sonuç : IaIss
Sonuç : (a, 1) = IaI
Matematikte ise algoritma bir sorunun yanıtını ya da bir problemin çözümünü sonlu sayıda aşmada veren sistematik yöntemdir.
Algoritma kelimesi IX.yy’ın başında yaşamış olan ünlü Türk matematikçilerinden Muhammed ibni Musa El-Marezini”nin isminden türetilmiştir. Avrupalıların El-Marezmi’nin ismini “Alkhorismi” biçiminde söylemlerinden Algoritma kelimesi doğmuştur.
Çok çeşitli algoritmalar vardır. Örneğin iki sayının en büyük ortak bölenini bulma “öklid algoritması” olarak bilinir. Ayrıca bilgisayar alanında ve otomatik hesap makinalarında algoritmalardan çokça yararlanılır.
* Basit bir algoritma örneği; Bir sayının karekökünü bulma
324 sayısının karekökünü basit işlemlerle bulmaya çalışalım;
ilk önce bir tahmin yapılır. Tahmin edilen sayı 15 olsun
Tahmin doğruluğu denenir 324 ÷ 15 = 21,6
Çıkan sonuçla tahmin edilen 31.6 + 15 = 36.6
Sayının ortalaması alınır. 36.6 ÷ 2 = 18.3
Yeni sonuç tekrar denenir 324 ÷ 18.3 = 17.7
Tekrar ortalama alınır 17.7 + 18.3 = 36
36 ÷ 2 = 18
- Yeni sonuç tekrar denenir. 342 ÷ 18 = 18
Tahmin edilebildiği gibi algoritmalarla hesap makineleri arasında sıkı bir bağ vardır. Öyle ki makineyle yapılabilen herhangi bir işlem bir algaritma şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde şimdiye kadar kurulmuş bütün algoritmalar hesap makinasıyla yapılabilir.
Bununla birlikte bilgisayar alanında da problem çözümü için algoritmalardan oldukça fazla yararlanılır.
Bilgisayar kullanarak problem çözerken ilk yapılacak iş problemi anlayarak analiz etmek ve çözüm yollarını ortaya koymaktır. Bilgisayarlar henüz problemin nasıl çözüleceği konusunda insanlara yardımcı olamıyor. Sadece insanların çözüm için gösterdiği yollardan giderek komutları hatasızca uygulamaktadır. Bilgisayarın doğru sonuca ulaşabilmesi için kendisine gösterilen çözüm yolunda hiçbir belirsizlikle ve karışıklıkla karşılaşmaması gerekir. Bu nedenle hazırlanacak çözüm yolunda her türlü detay bulunmalı ve karşılaşılabilecek değişik durumlarda bilgisayarın çözüme nasıl devam edeceği bildirilmelidir.
Problem çözümü için bilgisayara verilen çözüm yöntemleri birer algoritmadır.
* Bir algoritmada olması gereken özellikler;
Sonluluk (Bir algoritma ancak sonlu sayıda adımlarla gerekli sonuca götürürse gerçeklenebilmesi mümkündür).
Kesinlik (Bir algoritmada belirsizliklere yer verilmemelidir).
Genellik (Bir algoritma sınırlı sayıda belirli kurallardan oluşmalıdır).
Şimdi şu örneğe bakalım
Sayıların karesini almak
A = O (A’ya O değerini ver)
B = A x A (A’yı kendisiyle çarp ve B’ye bulduğun değeri ver)
B’yi yaz
A = A + 1 (A’nın değerini 1 arttır)
2. adıma dön.
Tarif sonlu sayıda kuraldan oluşmasına rağmen hiçbir zaman sona eremeyecektir. Bu tarifi uygulamaya çalışan bir kişi ya da bilgisayar O’dan başlayarak sonsuza kadar tüm sayıların karesini almaya çalışacaktır.
Belli bir yerde durmayı sağlamak için tarife yeni bir adım ekleyelim. Acaba bu sefer “algoritma” özelliklerini gerçekleştirebilecek miyiz?
A = O
B = A x A
B’yi yaz
A = A + 1
A çok büyük bir sayı ise dur
2. adıma dön.
Üstteki tarifi uygulamaya çalışan bir insan kedi büyük sayı kavramına göre belirli bir yerde duracaktır. Bu sayı kimisi için 500.000 kimisi için 1.538 vb. olabilir. Ancak bilgisayar için “çok büyük bir sayı” nedir? Bu belirsizlikten dolayı üstteki tarifte bir algoritma değildir. Örnekteki tarifimizi algoritma haline getirmek için “çok büyük sayı”yı 1.000 olarak seçelim.
O’dan 1.000’e kadar olan sayıların karesini alan algoritma:
A = O
B = A x A
B’yi yaz
A = A + 1
A > 1.000 ise dur
2. adıma dön.
Algoritma kavramının tam olarak matematik tarifi 1930’a kadar meydana getirilmemiştir. Bu demek oluyor ki asırlar boyunca matematikçiler tam olarak açık olmayan bir algoritma kavramına göz yummuşlardır. Matematiksel incelemeye yeterli derecede doğru bir tarif için ancak yakın zamanlarda ihtiyaç duyulmuştur. Daha öncelerde, kurulan sistemin herhangi bir veriye uygulandığı zaman aranan sonuca kendi kendine götürdüğünün gösterilmesi yeterliydi. Böylece her ne kadar her matematikçi algoritma kavramına dair temel bir fikre sahipse de kesin bir tarife ait ihtiyaç duyulmamıştır. Ancak matematikçilerin gitgide genelleşen problem tiplerini çözmek için gittikçe daha güçlü olan algoritmaları kurma isteklerinin başlaması “algoritma” kavramı üzerinde biraz daha fazla düşünmelerini sağlamıştır.
* Problem genelleştikçe algoritmasını kurmak göçleşir.
Az önce karekök almak için bir algoritma kullanmıştık. Bu problemi genelleştirirsek;
“verilen herhangi bir sayının herhangi kuvvetten kökünü bulmaya yarayan bir algoritma kurmak” Böyle bir algoritmayı kurmak daha güçtür. Daha da genelleştirirsek;
“Bir a sayısının n. kuvvetten kökünü bulma”
Bu problem Xn = a Xn – a = O denklemini çözme anlamına gelir.
Daha genel olarak aşağıdaki gibi problemi formüle edebiliriz. n Î Zx
an Xn + an-ı Xn-ı + ....... +aı + ao = o (Bittabi denk)
şeklindeki herhangi bir denklemin köklerini bulmaya yarayan bir algoritma kurmak.
Bu algoritmayı kurmak daha da güçtür. Gerçekten de denklemler teorisinin esas içeriği bu algoritmayı kurmaktan ibarettir bunu önemi büyüktür.
Verilen örnekler gittikçe daha genel tipten problemleri çözmeye, gittikçe daha güçlü algoritmalar bulmakta matematikçilerin çabasını göstermektedir. Yukarıdaki * şeklindeki bütün denklemleri çözme örneği gidilebilen sınır göstermez.
Bu şekilde gittikçe genelleşen algoritmaları sonuna götürmek istersek şu problemi göz önüne almalıyız.
“Herhangi bir matematik problemin çözülmesine ait algoritma kurmak”
Bu öyle bir genel problemdir ki bütün olarak matematiğe küstah bir meydan okuma sayılmıştır.
Sonsuz soru sınıflarının pek çoğu için algoritmalar geliştirilmiştir. Ancak kimi sonsuz soru sınıfları içinse bir algoritma bulunamamıştır. Örneğin Pierre de Fermat tarafından 1637’de ortaya atılan bir soru o zamanda bu yana matematikçileri uğraştırmıştır. Fermati; n > 2 olduğundan Xn + yn = zn eşitliğini sağlayan nı Xı Y ve Z tamsayılarını bulunmayacağını kanıtladığını öne sürmüş ama nasıl kanıtladığını açıklamamıştır. O günden bu yana bu teoremin ne kanıtına ulaşılabilmiş ne de yanlışlığını gösterecek bir örnek bulunabilmiştir. Böyle bir örnek bulunabilse aranan tamsayılara sonlu sayıda hesapla ulaşılabilir dolayısıyla bir algoritma oluşturulabilirdi.
BÖLÜNEBİLME
Tanım: a, b tamsayılar olmak üzer b = a t olacak şekilde bir t tamsayısı varsa a b’yi böler denir ve a / b yazılır. a X b sembolü de a’nın b’yi bölmediğini gösterir.
Bu tanıma göre a, b’yi bölerse a, b ‘nin bir bölenidir veya b, a’nın bir katıdır denir. Eğer a / b ve 1 < a =" o" a =" +"> o, b > o ise a <> o ve b tamsayılar için b = aq + r, o £ r <> o olduğu kabul edilmiş. Aslında bu hipotez gerekli değildir. Bu durumda teoremi “a ¹ o olmak üzere a, b tamsayıları için b = aq + r; o £ r < b =" aq" a =" 2" b2 =" 4k2" b2 =" 4k2" 1 =" 4k2" kalan =" O" a =" 3" a =" o" b =" c" b =" c" d =" (b,c)," d =" (b," d =" (a," e =" (ma," e =" ImI" d =" ax" md =" ma" e =" ImI" i =" (a," ise =" 1" d =" ax" 1 =" bulunur" d =" bx" b =" 10," c =" 6" d =" (10," x =" 2" y=" -3" 1 =" o" 1 =" o"> r1 >r2 > ....................... azalan dizisi sonsuz olamaz ve iyi sıralama prensibine göre bir en küçük elemanı vardır. Yani rj = O olacak şekilde bir j vardır.
Teorem: (Euclid Algoritması): verilen a, b tamsayıları için bölme algoritmasını aşağıdaki gibi ard arda uygulayalım
a = bqı + rı O < b =" rı" r2 =" r3" 2 =" rj" 1 =" rj" 10672 =" 4147." 4147 =" 2378.1" 2378 =" 1769." 1769 =" 609." 609 =" 551.1" 551 =" 58.9" 58 =" 29.2" 29 =" 10672" 29 =" 551" 9 =" 551" 9 =" 10" 609 =" 10" 609 =" 10" 2378 =" 39" 2378 =" 39" 2378 =" 39" 4147 =" 10672" x =" -" y =" 175"> o, a / m, b /m ve a ve b nin her n ortak katı için m / n olmasıdır.
Teorem :
Teorem : è= 1 dir
Teorem : (a, b) IabI (a ¹ o ve b ¹ o)
Sonuç : IaIss
Sonuç : (a, 1) = IaI
İRRASYONEL SAYILAR
Sayılar pratik problemlerle ilgili olduğunda düşünüyoruz. Fakat sayıların birbirleriyle ilişkileri değerlendirilebilir. Bilindiği gibi pisagorcular sayıları araştırmada ilkler arasındadır. Bu bilgilerde pisagorcular;
1= Sebep esası olarak düşünüldü.
2= Fikirle tanımlandı.
4= Eşitliklerin neticesi olan ilk numara olduğu için adaletle (1’den hariç ilk tam kareli sayı) çağrıştırdılar. 1’den daha büyük sayılar için;
Tek sayılar=Erkeğe,
Çift sayılar=Kadına özgüydü.
5=İlk kadına özgü özgü sayı (2) + ilk erkeğe özgü sayı (3)=5 olduğu için evliliği ifade ediyordu.
Pisagorcular mistik anlamlara sahip özel sayılarla ilgilendiler. Tam sayılar, eksik sayılar, fazla sayılar,asıl sayılar,üçgensel sayılar, karesel sayılar,beşgensel sayılar… En ilginç olanı ise tam kare sayılar idi. Karelere ayarlanabileceği için tam kare diye adlandırdılar.
Pisagorcuların Tarihi:
Pisagorcular da herhangi bir keşfin kendisine ait olduğunu iddia etmek bir saygısızlık olarak düşünülüyordu. Her yeni bulunan fikir pisagorcu toplumuna ait oluyordu. Her akşam pisagorcular kendilerine şu soruları sorarlardı.
Bugün iyi bir iş olarak ne yaptım?
Bugün ne de başarısızdım?
Bugün yapmış olmam gereken neyi yapmadım?
*Evreni tam sayılarla düzenli gören pisagorcular için karenin kenarı ile köşegeni gibi aynı türden geometrik büyüklüklerin ORTAK ÖLÇÜSÜZ olması akıl almaz bir skandaldı. O yüzden ne pahasına olursa olsun gizli tutulmalıydı. Kenarı 1 birim olan karenin köşegeni rasyonel bir sayı ile bilinemeyen bir doğru parçasıdır.
M.Ö 5 yy da antik yunan döneminde matematikte bilinen ilk bunalım ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla bu şekilde ortaya çıktı. O zamanlarda iki tam sayının bölümü olarak bilinemeyen doğru parçalarının varlığı ne demek? Sorusu akılları uğraştırdı.
Pisagorcuların düşüncesine göre; ”Sayılar evreni oluşturur .” Bu yüzden her şey sayılarla açıklanabilmeliydi. Basit olmalarına rağmen eş ölçeksiz büyüklüklerin bulunuşu bu düşünceye son veren darbe oldu.
İki uzunluğun EŞ ÖLÇEKLİ OLMASI için; bu uzunluklardan her ikisinde de bir tam sayının katı kadar bulunan bir birim gerekir. O halde iki uzunluğun ortak bir tam böleni bulunduğu söylenir. Söz konusu birim bu uzunluklar için bir ortak ölçü oluşturur. O halde İRRASYONEL SAYILAR’ ın bulunuşu;EŞ ÖLÇEKSİZ UZUNLUK’ ların bulunuşu demektir.
Bir karenin köşegeni d’nin, kenarı c’ye d2=2c2 bağıntısı ile bağlı olduğu biliniyordu. Öyleyse d/c oranı karesi 2 olan bir sayıdır. Bu oran indirgenemez. p/q kesriyle ifade edelim. Bu durumda p2/2q2 eşitliği elde edilir. Buradan 2q2=4r2 ve q2=2r2 ifadesi bulunur. Yani q’da çift sayıdır. Bu durum p/q kesrinin indirgenemez olmasıyla çelişir. Bu ispatı Aristo yapmıştır. *Bir karenin kenarının köşegenine oranı bir kesirle ifade edilemez.
Sonuç olarak:İki uzunluğu ölçmek için ortak birim yoktur. Bir kare kadar basit bir şekil üzerinde yapılan bu buluş İRRASYONEL SAYILAR’ ın evrenin her yerinde bulunduğunu gösterdi.
Sayılar kuramı alanında işlemlerle tanımlanamayan sayıların varlığı kabul edildi. Tam sayıları, rasyonel sayıları ve rasyonel sayı dizilerinin limiti olan sayıları içeren Reel (gerçek) sayılar kuramını geliştirmek için aradan birçok yüzyılın geçmesi gerekli.
Bu d2=2c2 hikayesinin varolamayacağı garip bir keşifti çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiğinde müşterek bir uzunluk biriminin varlığı kabul edilirdi. Böyle bir birimin varolmadığını Aristo ispat etti. Öklit geometrisinin mantıki yapısında bir gedik, uzunlukların oran ve orantılarının tartışılmasında bir eksiklik olduğu görüldü.
Matematikte bazı temel fonksiyonları ifade etmeye çalıştığımızda başka irrasyonel sayılar ortaya çıkar. Örneğin; Bir trigonometrik fonksiyon olan sin x’in değerlerini bulmaya çalışırsak x=60 olduğunda √3/2 irrasyonel sayısını elde ederiz. log x fonksiyonunu x’in rasyonel değerleri için ifade etmek istersek irrasyonel sayılar elde ederiz. Her ne kadar logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların cetvellerindeki listelenmiş sayılar günümüzde rasyonel iseler de ancak irrasyonel değerlerinin yaklaşık rasyonel değerleridir.
İrrasyonel sayıların elementer matematikte çeşitli tabii yollardan ortaya çıktığı aşikardır.
İRRASYONEL SAYILARDA KAPALİLİK
Rasyonel sayıların gösterildiği gibi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfır hariç) altında kapanmasına mukabil irrasyonel sayılar bu özelliklerin hiçbirine sahip değildir.
İrrasyonel sayılar toplam altında kapalı değildir. İspat için toplamı rasyonel olan iki irrasyonel sayı vermemiz kafidir. √2 irrasyonel ve -√2 de rasyoneldir. Fakat √2-√2=0 olduğunda “0” rasyoneldir.3+√2 ile 5-√2 nin toplamı da bir tamsayıdır.
Daha genel olarak: r1+a ile r2-a nın (burada r1 ve r2 rasyonel ve a irrasyonel olsun) toplamı rasyoneldir. İrrasyonel sayıların toplam altında kapalı olmadıkları önermesi herhangi iki irrasyonel sayıyı topladığımızda toplamın irrasyonel olacağı anlamına gelmemelidir. Hiç olmazsa bir halde toplam rasyoneldir anlamındadır.
İki rasyonel sayıyı topladığımızda elde edilen sonucun rasyonel veya irrasyonel olması; hareket ettiğimiz iki sayıya bağlıdır. √2 ile -√2 nin toplamı rasyonel olmasına rağmen √2 ile √3 ün toplamı irrasyoneldir. Benzer şekilde irrasyonel sayılar çıkarma, çarpım ve bölme altında kapalı değillerdir.
SONSUZ ÇOK İRRASYONEL SAYI TEŞKİLİNE İMKAN VEREN TEOREM
α herhangi irrasyonel bir sayı ve r sıfır hariç her hangi rasyonel bir sayı olsun. Bu takdirde;
*r veα nın toplam, çarpım, çıkarma ve bölümü irrasyonel sayıyı
*-a ve a-1 de irrasyonel sayıyı verir.
İSPAT: Bu sonuçlar endirekt ispatlar yardımı ile kolayca tesis edilecektir. –a’nın rasyonel yani r’nin rasyonel olduğu tahmin edilen sayıyı göstermek üzere –a=r1 olduğunu kabul edelim. Şu halde,
a=-r1 olacak ve –r1 gene bir rasyonel sayıdır. Böylece; a irrasyonel olduğundan bir çelişmezliğe düşülür.
Teorem –a, a-1=1/a, α+r, a-r, r-a, r-α, a/r, r/a’ların irrasyonel olduğunu iddia eder. Daha şimdi; -a’yı tetkik ettik a-1’in irrasyonelliğinin ispatında r=1 ile r/a nın bir özel hali olduğunu görürüz. Böylece ayrı olarak bu hali tetkik etmeğe lüzum yoktur.
Geri kalan altı halin hepsini birlikte, en genel şekliyle, ispat edelim. Eğer bu ifadelerden bir veya daha fazlası rasyonel olsaydı, o vakit aşağıdaki;
a+r=r1 r.a=r4
a-r=r2 a/r=r5
r-a=r3 r/a=r6
denklemlerinin bir veya daha fazlası cari olacaktı. Burada r1,r2,r3,r4,r5,r6 bazı rasyonel sayıları gösterir. a’ya göre bu denklemleri çözerek
a=r1-r a=r4/r
a=r2+r a=r.r5
a=r-r3 a=r/r6
elde ederiz.
Bu denklemlerin sağ tarafları irrasyonel sayıların kapanma özelliklerinden dolayı, rasyonel sayılardır. Bu denklemlerin hiçbiri cari olmaz, çünkü a irrasyoneldir. Bu sebepten a+r, a-r, vs sayılarından herhangi birinin rasyonel olması sayılar sınıfını teşkil edebiliriz. Mesela √2 den teoremin her ifadesini tatbik ederek;
-√2, 1/√2, √2+5, 3-√2, -2√2,√2/7, 4/√2’lerin hepsinin irrasyonel olduklarını söyleyebiliriz. Madem ki teoremin her iddiası için kullanabildiğimiz sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. O halde böyle sonsuz sayıda çok irrasyonel sayının teşkil edilebileceği aşikardır.
√2’NİN İRRASYONELLİĞİ
İSPAT: √2’nin rasyonel bir sayı olduğunu farz edelim, a ve tamsayılar olmak üzere;
√2=a/b olsun
a/b rasyonel kesrinin en basitleştirilmiş şekilde olduğunu kabul edeceğiz. Bilhassa a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı keyfiyetini kulacağız, zira eğer çift olsalardı kesir en basitleştirilmiş halde olmayacaktı. Yukarıda ki eşitliğin karesini alıp basitleştirirsek,
2=a2/b2 , a2=b2
elde ederiz. 2b2 terimi bir çift tamsayı gösterir, dolayısıyla a2 bir çift tam sayıdır, bundan dolayı a bir çift tam sayıdır. a=2c demektir, burada c bir tam sayıdır.
a2=2b2 denkleminde a yerine 2c yazarsak (2c)2=2b2 ,4c2=2b2 ,2c2=b2
elde ederiz. 2c2 terimi bir çift tam sayı belirtir. Öyleyse b2 ve bundan dolayı b bir çift tamsayıdır. Buradan a ve b’nin her ikisinin de çift olduğu sonucuna varıyoruz. Halbuki a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğu kabul edilmişti. Bu çelişki √2’nin rasyonel a/b şeklinde ifade edilemeyeceği sonucuna götürür ve bundan dolayı √2 irrasyoneldir.
√3’ ÜN İRRASYONELLİĞİ
√3’ün irrasyonel olduğu hakkındaki ispat √2’nin irrasyonelliğinin ispatına benzer. İspata bir giriş olarak bir tam sayı karesinin, eğer tamsayının kendisi 3 ile bölünebilirse, 3 ile bölünebildiğini göstereceğiz. 3 ile bölünebilen bir tamsayıyı 3n şeklinde, bölünemeyen bir tamsayıyı 3n+1 şeklinde alalım:
(3n)2=9n2=3(3n2)
(3n+1)2=9n2+6n+1=3(3n2+2n)+1
eşitlikleri bu iddiayı teyit ederler.
İSPAT: √3’ün rasyonel bir sayı olduğunu farz ederiz.
√3=a/b olsun. (a,b Є Z)
Tekrar √2 halinde olduğu gibi a ve b’nin her ikisinin de 3 ile bölünemediğini ve a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğunu kabul edelim. Eşitliğin karesinin alır ve basitleştirirsek;
3=a2/b2 , a2=3b2
elde ederiz. 3b2 tamsayısı 3 ile bölünür, yani a2 3 ile bölünebilir. a=3c demektir. a2=3b2 denkleminde a yerine 3c koyarsak;
(3c)2=3b2 , 9c2=3b2 , 3c2=b2
elde ederiz. Bu b2’nin 3 ile bölünebildiğini ve bundan dolayı b’nin 3 ile bölünebildiğini gösterir. Bu ise a/b’nin en basitleştirilmiş halde olmasına aykırıdır. Bundan dolayı √3 irrasyoneldir.
√6 VE √2+√3’ÜN İRRASYONELLİĞİ
√2 ve √3’ün irrasyonelliği hakkındaki ispatlar sırası ile 2 ve 3 ile bölünebilmelerle bağlı idi. √6’nın ispatı da hem 2 hem 3 ile bölünebilmeye bağlı olarak yapılabilir. Mesela √2’nin ispatına paralel olarak,
√6=a/b
olduğunu kabul edelim. Burada a ve b her ikisi de çift tamsayılar değildirler. Karesini alarak;
6=a2/b2 , a2=6b2
elde ederiz. 6b2 çift olduğundan b2 de çifttir. Öyleyse a çifttir.
a=2c olsun. O halde,
a2=6b2 , (2c)2=6b2 , 4c2=6b2 , 2c2=3b2
yazabiliriz. Bu bize 3b2’nin çift olduğunu gösterir. Öyleyse b2 ve b çifttir. Fakat a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı kabul edilmişti. Öyle ise √6 irrasyoneldir.
√6’nın irrasyonelliğine bağlı olarak √2+√3’ün irrasyonelliğini de şu şekilde gösteririz;
√2+√3 rasyonel olsun.
√2+√3=r diyelim. Karesini alır ve basitleştirirsek,
(√2+√3)2=r2
2+2√6+3=r2
2√6=r2-5
√6=r2-5/2
elde ederiz.
Rasyonel sayılar dört işlem altında kapalı olduklarından r2-5/2 rasyonel bir sayıdır. Fakat √6 irrasyoneldir. Böylece çelişmezliğe düşeriz. Bundan dolayı √2+√3’ün irrasyonel olduğu sonucuna varırız.
REEL SAYILAR
GİRİŞ
En basit sayılar, sayımda kullanılan 1,2,3,… vs gibi pozitif tamsayılardır. Bunlara “tabii sayılar” denir ve binlerce yıl bizimle beraber mevcut olan bu sayılar için tanınmış matematikçi Kronecker “Tanrı tabii sayıları yarattı, bütün geri kalan ise insanın eseridir” meşhur sözünü sarf etmiştir.
Günlük hayatın temel ihtiyaçları ½,2/3,5/4,… vs gibi adi kesirlerin ithalini icap ettirdi. Böyle sayılara rasyonel sayılar denmesi bunların tamsayıların oranları olmalarından dolayıdır.
Tabii sayıların bir doğru parçası boyunca noktalarla gösterildiğini düşünebiliriz. Her nokta tıpkı bir şerit metredeki santim sayıları gibi bir evvelki noktadan bir uzunluk birimi uzaklığında bulunur. Rasyonel sayıları aynı doğru parçası üzerinde gösterebilir ve bunların uzunluk kesirlerini ölçtüğünü gösterebiliriz.
1 2 3 4
1/2 2/3 5/4
1 2 3 4
Daha sonraları Hintliler en mühim olan 0’ı icat ettiler ve modern zamanların başlangıcında ise İtalyan cebircilerin negatif sayıları icat ettiler.
-3/2
-2 -1 0 1 2
Matematikçiler rasyonel sayılardan bahsettikleri zaman (**** olarak gösterilebilen, yani 2=2/1=6/3,…vs olan) pozitif ve negatif tam sayıları, sıfır ve adi kesirleri kastederler. Pozitif ve negatif tam sayılar ve sıfıra tam sayılar denir; bundan dolayı rasyonel sayılar sınıfı tan sayılar sınıfını ihtiva eder.
Z = 21 +È { 0 } È Z
Q = { x/x = a/b , a Є Z , b ≠ a ve b Є Z}
Buradan Z Ì olduğu açıktır. Q
Adi kesirlerin geometrik maksatlar için kafi gelemeyeceğinin keşfi bundan 2500 yıldan daha fazla bir zaman önce Yunanlılar tarafından yapılmıştır.
M.Ö 4. yüzyılda yaşayan Pisagor ve tarikatı evrendeki her şeyin sayılar ile açıklanabileceğini ve sayı üzerine kurulduğunu savunuyorlardı. Matematikçilerden oluşan ve sayılara tapan bu tarikat mensupları öğretilerini dışarıdan hiç kimseye anlatmaz, yazılı bir eser ortaya çıkarmaz, bilgileri kulaktan kulağa aktararak iletir ve saklardı. Her şeyin sayı olduğunu ve evrenin sayılarla açıklanabileceğini savunan bu tarikatın bir üyesi kenarları 1 birim olan karenin köşegeninin bilinen sayılar cinsinden ifade edilemeyeceğini fark etti.
Kenarları 1 birim olan bir karenin köşegeninin uzunluğu √2 birimdir, yani köşegenin uzunluğu karesi 2 olan sayadır.
Pisagorcular arasında huzursuzluk başladı çünkü inandıkları öğretici her şeyin tam sayılarla açıklanabileceğini savunuyordu. Bir ikilem içine girdiler, öğretilerine yürekten bağlılardı ama mantıkları inandıkları şeyin doğru olmadığını söylüyordu, bu dönem matematiğin ilk bunalımı sayılır.
Pisagor teoremine göre böyle bir7 karenin köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olan bir irrasyonel sayı ile ifade edebiliriz. Geometrik olarak bunun ifade ettiği anlam, bir karenin hem kenarına ve hem de köşegenine konulabilecek bir tam sayı misli kadar hiçbir müşterek uzunluk biriminin ve ne kadar hassas olursa olsun, hiçbir müşterek ölçeğin mevcut olmayışıdır.diğer bir deyişle, bir karenin kenar ve köşegeninin, ne kadar küçük olursa olsun, katları olabilecek böyle bir birim yoktur. Yunanlılar için bu garip bir keşifti, çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiği takdirde müşterek bir uzunluk biriminin mevcudiyeti kabul edilmekte idi.
İki rasyonel sayı arasına, sonsuz çoklukta baksa rasyonel sayılar yerleştirilebileceğini ifade etmiştik.
1/3 2/3
10/30 20/30
100/300 200/300
. .
. .
Sayı ekseninin rasyonel sayılarla tamamen doldurulamayacağını gördük.
√2 irrasyonel bir sayıdır. sayı eksenini rasyonel sayılarla dolduramıyoruz. Madem ki eksen üzerindeki her nokta başlangıç noktasından bir miktar uzaklıkta bulunuyor, böylece her noktaya bir sayının tekabül etmesi gerekir.
Her noktasına bir sayı tekabül ettirilen doğru veya eksene “reel doğru” denir.
i ) A Number Line :
Zero
Negatif numbers Positive numbers
-2 -1 0 1 2
ii )A Number Line With Rationals:
…1/16 1/8 ¼ ½
-8 -6 -4 -2 0 .2 .4 .6 .8 1
iii ) Finding an irrational “hole ” on a dense number line with rationals plotted
1
-5 0 .5 1 1.5
√2 1
iv ) Real number line showing some rationals and some irrationals
Rationals 0.1555…
0 0.05 √0.01 0.15 1/5 1/4
R . . . .
0 0.2 0.4 π/50 .0.8 0.1 0.14 0.16 0.18 0.2 √0.05 0.24 0.26
Irrationals -0.12345678910…
Q Q1
N
Z
IR = Z È Q È Q1
-----------------R----------------------
Herhangi bir reel sayıya rasyonel yada irrasyoneldir.
OMÇG (Amerikalı matematikçi ve eğitimciler tarafından oluşturulan) 1950’li yıllarda aksiyomları euclidyen geometri için sunmuşlardır.
Uzaklık hakkındaki aksiyomlarında;
Postulat 3(Cetvel postulatı): Bir doğrunun noktaları reel sayılar ile 1-1 tekabül içine aşağıdaki gibi sokulabilir.
Her noktaya kesinlikle bir reel sayı karşılık gelir.
Her reel sayıya doğrunun bir noktası karşılık gelir.
İki nokta arasındaki uzaklık bu noktada karşılık gelen sayılar farkının mutlak değeridir.
Reel doğrunun noktalarına tekabül eden sayıların rasyonel veya irrasyonel olmalarına göre noktalar ya rasyonel yada irrasyoneldir.
Reel sayılar bütün rasyonel ve irrasyonel sayılardan ibaret olup matematiğin merkezsel sayı sistemini teşkil eder. Geometri, reel sayıların yani verilen bir uzunluk birimi cinsinden mümkün bütün uzunlukları ölçmek için gerekli bütün sayıların tarifi için bir usul verir. Geometride uzunlukların, alanların veya hacimlerin sonucu bizi reel sayılara götürür.
Bir doğru parçası boyunca sayıların noktalar olarak gösterilişlerini tekrar göz önüne alırsak, ne kadar küçük olursa olsun, herhangi bir doğru parçasının sonsuz sayıda çok rasyonel nokta ihtiva etmesine rağmen rasyonel sayılarla ifade edilemeyen uzunlukları ölçen çok sayıda başka (√2,∏,log2) noktaların da mevcut olduğunu buluruz. Bütün reel sayıları göz önüne alırsak, doğru üzerinde her noktaya tam bir reel sayı ve her reel sayıya doğru üzerinde edilebileceği keyfiyeti bu sayıların tamamlık özelliği olarak bilinir ve matematik analizin bütün gelişmesi bu özelliğine dayanır.
Reel sayılar böylece iki cinstir, rasyonel ve irrasyonel sayılar olmak üzere. Reel sayıların daha yeni olan cebirsel sayılar ve transandant sayılar diye iki kategoriye ayrılması vardır.
Bütün polinom denklemlerin gerçel sayı olarak çözümleri Q’ ya ilave edilecek olursa gerçel sayılar elde edilmelidir. Burada herhangi bir polinom denklemi sağlamayan gerçel sayıların varolduğu gerçeği unutulmamalıdır. Dolayısıyla katsayıları tam sayı olan polinomların gerçel sayılardaki çözümlerine cebirsel sayılar; cebirsel olmayan gerçel sayılara da transandant sayılar adı verilir. transandant sayıların sayısı cebirsel sayılardan fazladır.
Her rasyonel sayının cebirsel bir sayı olduğunu görmek kolaydır. Mesela 5/7 7x-5=0 denklemini gerçekler ve bu denklem polinom denklemidir. Daha genel olarak, herhangi a/b rasyonel sayısı bx-a=0 denklemini sağlar ve dolayısıyla cebirsel bir sayıdır.
Her rasyonel sayı madem ki cebirseldir, bundan her cebirsel olmayan sayıların rasyonel olamadıkları sonucu çıkar, daha basmakalıp ifadeyle her transandant sayı irrasyoneldir.
√2 ve 3√7 cebirseldir. x2-2=0 ve x3-7=0 denklemini sağlarlar.
log2 ve π sayıları transandant sayılara örnektir. π sayısı 3,14159… değeri ile herhangi bir dairede çevre uzunluğunun çapı oranıdır.
1851 yılında Fransız matematikçi Liouville transandant sayıların mevcudiyetini ispat etti. Bunu bazı sayıların cebirsel olmadıklarını göstermekle ispatlamıştır. 19. yüzyılın sonlarında π nin transandant bir sayı olduğu ispatlanmış ve bu netice “daireyi kareye çevirme” diye bilinen eski bir geometrik çizim problemini halletmiştir. 19. yüzyılda diğer bir ilerlemeyi Alman matematikçi Cantor, tamamen farklı bir şekilde meseleyi ele alarak, transandant sayıların varlığını ispatlamıştır. Cantor’un ispatı Liouville’nin kine göre cebirsel sayılara nazaran transandant sayıların daha bol olduğunu ispat etmekle bir üstünlük sağlamıştır.
e, π, eπ, 2√2 transandant sayılara bazı örneklerdir. Bu sayılarla çalışmak çok ilgi çekicidir. Çünkü benzer transandant sayıların inşa edilmesi çok zordur. e’nin transandantlığı tabi (doğal) logaritmanın tabanı olarak ilk defa 1873 de Euler tarafından gösterilmiştir.π’nin ki ise 1882 de F.Lindemann tarafından ispatlanmıştır.
Dolayısıyla a≠0, b≠1 ve b bir irrasyonel sayı olmak üzere ab sayısının transandant olup olmadığına karar vermek oldukça zordur. Hilbert sayısı olarak bilinen 2√2‘nin transandant olduğunun gösterilmesi uzun yıllar almıştır.
Rasyonel (bütün bunlar cebirsel sayılardır)
Reel Sayılar
Cebirsel mesela √2 , 3√7
İrrasyonel
Transandant mesela 2√2 , log2 ve π
Rasyonel
Cebirsel
İrrasyonel
Reel Sayılar
Transandant (bütün bunlar irrasyonel sayılardır)
Cebirsel sayıların bazıları rasyonel, bazıları irrasyoneldir. Fakat bütün transandant sayılar irrasyoneldir.
Reel sayıları sınıflamada farklı yollar gösterebiliriz.
Pozitif, negatif ve sıfır
Rasyonel sayı ve irrasyonel sayı
a. Eğer sayı bitiyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/8=0,625
b. Eğer sayı tekrar ediyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/11=0,4545…tekrarlayan ondalık
c. Eğer sayı bitmeyen ve tekrarsız ondalığa sahipse; irrasyoneldir.w
Örnek: √2=1,414213… π=3,14159… e=2,71828…
ONDALIK GÖSTERİLİŞLER
1/3 sayısını reel doğru üzerinde, 0 ile 1 birim noktaları arasını 3’e bölen mesafeye kolayca yerleştirmek mümkündür.
0 1/3 1
Şimdi 1/3’ün ondalıkla gösterilmesini göz önüne alalım:
1/3=0,33333…=3/10+3/100+3/1000+…
bu eşitlik 1/3’ü sonsuz terimli bir toplam olarak ifade eder. Terim sayısının sonu olmamasına rağmen toplamın belirli, yani 1/3 bir değeri vardır. Eğer 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 ; … lere tekabül eden noktaları reel doğru üzerine yerleştirirsek 1/3 noktasına yakın sayan bir noktalar silsilesi elde ederiz.
0 1/3
0,30 0,33
Herhangi bir sonsuz ondalık aynı şekilde reel doğrunun belirli bir noktasına ait olacaktır.
0,99999… sonsuz ondalığı halinde bunu gösteren nokta 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ;vs… noktalarına tekabül eden noktalara yakınsar.
1=0,99999… eşitliğine yakın olarak 1 noktasına yakınsarlar.
0,99
0 0,9 1
Her sayının sonsuz bir ondalık açılımı vardır.
Ör: ½=0,5000… 1/3=0,333..
Sonlu ondalık açılımı olanlar Ör: ¼=0,25
Rasyonel sayılar
Periyodik (tekrarlayan) ondalık açılımı olanlar Ör: 5/8=0,4545…
İrrasyonel sayılar Periyodik olmayanlar Ör: π=3,14159…
Reel sayıların sonsuz ondalık gösterilişleri tektir. İspatlayalım.
Farklı sonsuz ondalık gösterilişi olan iki sayı alalım.
a= 17,923416…
b=17,923415…
a>17,923416 olduğu açıktır. b’de en fazla 17,923416’dır. b’de 5’ takip eden rakamların hepsi 9 olursa, yani eğer b=17,9234159 olursa, b=17,923416 veya 17,923416≥b şeklinde yazarız.
a>17,923416≥b buradan a>b çıkar. Şu halde a’nın b’den daha büyük olduğu sonucuna varırız; tabi bu eşitlik imkanını yok eder yani ortadan kaldırır.
Π SAYISI
İnsanoğlu, daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerliğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların göz bebekleriyle gökyüzündeki güneş veya ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki, dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse çevresi o kadar büyüyordu. Cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki, bu sabit orana π dersek; çevre/çap=π sabit şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu.
Tarihi: π sayısı Babiller, Eski Mısırlılar ve pek çok eski uygarlık tarafından biliniyordu. Onlar, tüm çemberlerin çevresinin çapına bölümünün sabit bir sayıya eşit olduğunu fark etmişlerdi. Bu sabit sayının bulunması artık çapı bilinen bir çemberin çevresinin hesaplanmasına imkan veriyordu. M.Ö 2000 yılı civarında π’yi;
M.Ö 2000: Eski Mısırlılar π = (16/9)2=3,1605
M.Ö 2000: Mezopotamyalılar Babil devrinde π = 3⅛
M.Ö 1200: Çinliler π = 3
M.Ö 550: Kutsal Kitapta(1. Krallar 7:23), π = 3
M.Ö 434 Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.
M.Ö 300: Archimides 3 10/7<π<□ buluyor.Bundan başka yaklaşık π=211875/67441 buluyor. M.S 200: Batlamyos π = (377/120)=3,14166 M.S 300: Çüng Hing π = √10=3,166 M.S 300: Vang Fau π =(142/45)=3,155 M.S 300: Liu Hui π = (471/150)=3,14 M.S 500: Zu Çung-Çi 3,1415926< π<3,1415927 p="3" 2="2n.2n/(2n-1)(2n-1)" 4="1-1/3+1/5="1/7+1/9-1/11+…" 6="1/12+1/22+1/32+1/42+…" 2="2.2.4.4.6.6.8.8…/1.3.3.5.5.7.7.9.9…(Wallis" 6="1/12+1/22+1/32+…" alan=" En*Boy" alan="πr2" 4="2*2" 6="3*2" 8="4*2" 25="2,66" 50="2,69" n="2,718…gibi" y=" dir." y="2^x)" y="e^x" y="y’" b="0" 3="0" b="0" 3="0" x="0" x =" 0" 2x =" 0" 1 =" 0" 1 =" 0" 3x =" 0" 1 =" 0" 1 =" 0" 2 =" 0" 2 =" 0" 4x =" 0" 1 =" 0" 2 =" 0" 2=" 0" 3 =" 0" 3 =" 0" a0 =" 0" an=" 0" x =" 0" x2="0," 2x="0," 1="0," 1="0," x2="0," 2x2="0," 1="0," 1="0," 3x="0," 1="0," 1="0," 2="0," 2=" Lineer" s =" {a1" m="{a1">
1= Sebep esası olarak düşünüldü.
2= Fikirle tanımlandı.
4= Eşitliklerin neticesi olan ilk numara olduğu için adaletle (1’den hariç ilk tam kareli sayı) çağrıştırdılar. 1’den daha büyük sayılar için;
Tek sayılar=Erkeğe,
Çift sayılar=Kadına özgüydü.
5=İlk kadına özgü özgü sayı (2) + ilk erkeğe özgü sayı (3)=5 olduğu için evliliği ifade ediyordu.
Pisagorcular mistik anlamlara sahip özel sayılarla ilgilendiler. Tam sayılar, eksik sayılar, fazla sayılar,asıl sayılar,üçgensel sayılar, karesel sayılar,beşgensel sayılar… En ilginç olanı ise tam kare sayılar idi. Karelere ayarlanabileceği için tam kare diye adlandırdılar.
Pisagorcuların Tarihi:
Pisagorcular da herhangi bir keşfin kendisine ait olduğunu iddia etmek bir saygısızlık olarak düşünülüyordu. Her yeni bulunan fikir pisagorcu toplumuna ait oluyordu. Her akşam pisagorcular kendilerine şu soruları sorarlardı.
Bugün iyi bir iş olarak ne yaptım?
Bugün ne de başarısızdım?
Bugün yapmış olmam gereken neyi yapmadım?
*Evreni tam sayılarla düzenli gören pisagorcular için karenin kenarı ile köşegeni gibi aynı türden geometrik büyüklüklerin ORTAK ÖLÇÜSÜZ olması akıl almaz bir skandaldı. O yüzden ne pahasına olursa olsun gizli tutulmalıydı. Kenarı 1 birim olan karenin köşegeni rasyonel bir sayı ile bilinemeyen bir doğru parçasıdır.
M.Ö 5 yy da antik yunan döneminde matematikte bilinen ilk bunalım ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla bu şekilde ortaya çıktı. O zamanlarda iki tam sayının bölümü olarak bilinemeyen doğru parçalarının varlığı ne demek? Sorusu akılları uğraştırdı.
Pisagorcuların düşüncesine göre; ”Sayılar evreni oluşturur .” Bu yüzden her şey sayılarla açıklanabilmeliydi. Basit olmalarına rağmen eş ölçeksiz büyüklüklerin bulunuşu bu düşünceye son veren darbe oldu.
İki uzunluğun EŞ ÖLÇEKLİ OLMASI için; bu uzunluklardan her ikisinde de bir tam sayının katı kadar bulunan bir birim gerekir. O halde iki uzunluğun ortak bir tam böleni bulunduğu söylenir. Söz konusu birim bu uzunluklar için bir ortak ölçü oluşturur. O halde İRRASYONEL SAYILAR’ ın bulunuşu;EŞ ÖLÇEKSİZ UZUNLUK’ ların bulunuşu demektir.
Bir karenin köşegeni d’nin, kenarı c’ye d2=2c2 bağıntısı ile bağlı olduğu biliniyordu. Öyleyse d/c oranı karesi 2 olan bir sayıdır. Bu oran indirgenemez. p/q kesriyle ifade edelim. Bu durumda p2/2q2 eşitliği elde edilir. Buradan 2q2=4r2 ve q2=2r2 ifadesi bulunur. Yani q’da çift sayıdır. Bu durum p/q kesrinin indirgenemez olmasıyla çelişir. Bu ispatı Aristo yapmıştır. *Bir karenin kenarının köşegenine oranı bir kesirle ifade edilemez.
Sonuç olarak:İki uzunluğu ölçmek için ortak birim yoktur. Bir kare kadar basit bir şekil üzerinde yapılan bu buluş İRRASYONEL SAYILAR’ ın evrenin her yerinde bulunduğunu gösterdi.
Sayılar kuramı alanında işlemlerle tanımlanamayan sayıların varlığı kabul edildi. Tam sayıları, rasyonel sayıları ve rasyonel sayı dizilerinin limiti olan sayıları içeren Reel (gerçek) sayılar kuramını geliştirmek için aradan birçok yüzyılın geçmesi gerekli.
Bu d2=2c2 hikayesinin varolamayacağı garip bir keşifti çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiğinde müşterek bir uzunluk biriminin varlığı kabul edilirdi. Böyle bir birimin varolmadığını Aristo ispat etti. Öklit geometrisinin mantıki yapısında bir gedik, uzunlukların oran ve orantılarının tartışılmasında bir eksiklik olduğu görüldü.
Matematikte bazı temel fonksiyonları ifade etmeye çalıştığımızda başka irrasyonel sayılar ortaya çıkar. Örneğin; Bir trigonometrik fonksiyon olan sin x’in değerlerini bulmaya çalışırsak x=60 olduğunda √3/2 irrasyonel sayısını elde ederiz. log x fonksiyonunu x’in rasyonel değerleri için ifade etmek istersek irrasyonel sayılar elde ederiz. Her ne kadar logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların cetvellerindeki listelenmiş sayılar günümüzde rasyonel iseler de ancak irrasyonel değerlerinin yaklaşık rasyonel değerleridir.
İrrasyonel sayıların elementer matematikte çeşitli tabii yollardan ortaya çıktığı aşikardır.
İRRASYONEL SAYILARDA KAPALİLİK
Rasyonel sayıların gösterildiği gibi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfır hariç) altında kapanmasına mukabil irrasyonel sayılar bu özelliklerin hiçbirine sahip değildir.
İrrasyonel sayılar toplam altında kapalı değildir. İspat için toplamı rasyonel olan iki irrasyonel sayı vermemiz kafidir. √2 irrasyonel ve -√2 de rasyoneldir. Fakat √2-√2=0 olduğunda “0” rasyoneldir.3+√2 ile 5-√2 nin toplamı da bir tamsayıdır.
Daha genel olarak: r1+a ile r2-a nın (burada r1 ve r2 rasyonel ve a irrasyonel olsun) toplamı rasyoneldir. İrrasyonel sayıların toplam altında kapalı olmadıkları önermesi herhangi iki irrasyonel sayıyı topladığımızda toplamın irrasyonel olacağı anlamına gelmemelidir. Hiç olmazsa bir halde toplam rasyoneldir anlamındadır.
İki rasyonel sayıyı topladığımızda elde edilen sonucun rasyonel veya irrasyonel olması; hareket ettiğimiz iki sayıya bağlıdır. √2 ile -√2 nin toplamı rasyonel olmasına rağmen √2 ile √3 ün toplamı irrasyoneldir. Benzer şekilde irrasyonel sayılar çıkarma, çarpım ve bölme altında kapalı değillerdir.
SONSUZ ÇOK İRRASYONEL SAYI TEŞKİLİNE İMKAN VEREN TEOREM
α herhangi irrasyonel bir sayı ve r sıfır hariç her hangi rasyonel bir sayı olsun. Bu takdirde;
*r veα nın toplam, çarpım, çıkarma ve bölümü irrasyonel sayıyı
*-a ve a-1 de irrasyonel sayıyı verir.
İSPAT: Bu sonuçlar endirekt ispatlar yardımı ile kolayca tesis edilecektir. –a’nın rasyonel yani r’nin rasyonel olduğu tahmin edilen sayıyı göstermek üzere –a=r1 olduğunu kabul edelim. Şu halde,
a=-r1 olacak ve –r1 gene bir rasyonel sayıdır. Böylece; a irrasyonel olduğundan bir çelişmezliğe düşülür.
Teorem –a, a-1=1/a, α+r, a-r, r-a, r-α, a/r, r/a’ların irrasyonel olduğunu iddia eder. Daha şimdi; -a’yı tetkik ettik a-1’in irrasyonelliğinin ispatında r=1 ile r/a nın bir özel hali olduğunu görürüz. Böylece ayrı olarak bu hali tetkik etmeğe lüzum yoktur.
Geri kalan altı halin hepsini birlikte, en genel şekliyle, ispat edelim. Eğer bu ifadelerden bir veya daha fazlası rasyonel olsaydı, o vakit aşağıdaki;
a+r=r1 r.a=r4
a-r=r2 a/r=r5
r-a=r3 r/a=r6
denklemlerinin bir veya daha fazlası cari olacaktı. Burada r1,r2,r3,r4,r5,r6 bazı rasyonel sayıları gösterir. a’ya göre bu denklemleri çözerek
a=r1-r a=r4/r
a=r2+r a=r.r5
a=r-r3 a=r/r6
elde ederiz.
Bu denklemlerin sağ tarafları irrasyonel sayıların kapanma özelliklerinden dolayı, rasyonel sayılardır. Bu denklemlerin hiçbiri cari olmaz, çünkü a irrasyoneldir. Bu sebepten a+r, a-r, vs sayılarından herhangi birinin rasyonel olması sayılar sınıfını teşkil edebiliriz. Mesela √2 den teoremin her ifadesini tatbik ederek;
-√2, 1/√2, √2+5, 3-√2, -2√2,√2/7, 4/√2’lerin hepsinin irrasyonel olduklarını söyleyebiliriz. Madem ki teoremin her iddiası için kullanabildiğimiz sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. O halde böyle sonsuz sayıda çok irrasyonel sayının teşkil edilebileceği aşikardır.
√2’NİN İRRASYONELLİĞİ
İSPAT: √2’nin rasyonel bir sayı olduğunu farz edelim, a ve tamsayılar olmak üzere;
√2=a/b olsun
a/b rasyonel kesrinin en basitleştirilmiş şekilde olduğunu kabul edeceğiz. Bilhassa a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı keyfiyetini kulacağız, zira eğer çift olsalardı kesir en basitleştirilmiş halde olmayacaktı. Yukarıda ki eşitliğin karesini alıp basitleştirirsek,
2=a2/b2 , a2=b2
elde ederiz. 2b2 terimi bir çift tamsayı gösterir, dolayısıyla a2 bir çift tam sayıdır, bundan dolayı a bir çift tam sayıdır. a=2c demektir, burada c bir tam sayıdır.
a2=2b2 denkleminde a yerine 2c yazarsak (2c)2=2b2 ,4c2=2b2 ,2c2=b2
elde ederiz. 2c2 terimi bir çift tam sayı belirtir. Öyleyse b2 ve bundan dolayı b bir çift tamsayıdır. Buradan a ve b’nin her ikisinin de çift olduğu sonucuna varıyoruz. Halbuki a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğu kabul edilmişti. Bu çelişki √2’nin rasyonel a/b şeklinde ifade edilemeyeceği sonucuna götürür ve bundan dolayı √2 irrasyoneldir.
√3’ ÜN İRRASYONELLİĞİ
√3’ün irrasyonel olduğu hakkındaki ispat √2’nin irrasyonelliğinin ispatına benzer. İspata bir giriş olarak bir tam sayı karesinin, eğer tamsayının kendisi 3 ile bölünebilirse, 3 ile bölünebildiğini göstereceğiz. 3 ile bölünebilen bir tamsayıyı 3n şeklinde, bölünemeyen bir tamsayıyı 3n+1 şeklinde alalım:
(3n)2=9n2=3(3n2)
(3n+1)2=9n2+6n+1=3(3n2+2n)+1
eşitlikleri bu iddiayı teyit ederler.
İSPAT: √3’ün rasyonel bir sayı olduğunu farz ederiz.
√3=a/b olsun. (a,b Є Z)
Tekrar √2 halinde olduğu gibi a ve b’nin her ikisinin de 3 ile bölünemediğini ve a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğunu kabul edelim. Eşitliğin karesinin alır ve basitleştirirsek;
3=a2/b2 , a2=3b2
elde ederiz. 3b2 tamsayısı 3 ile bölünür, yani a2 3 ile bölünebilir. a=3c demektir. a2=3b2 denkleminde a yerine 3c koyarsak;
(3c)2=3b2 , 9c2=3b2 , 3c2=b2
elde ederiz. Bu b2’nin 3 ile bölünebildiğini ve bundan dolayı b’nin 3 ile bölünebildiğini gösterir. Bu ise a/b’nin en basitleştirilmiş halde olmasına aykırıdır. Bundan dolayı √3 irrasyoneldir.
√6 VE √2+√3’ÜN İRRASYONELLİĞİ
√2 ve √3’ün irrasyonelliği hakkındaki ispatlar sırası ile 2 ve 3 ile bölünebilmelerle bağlı idi. √6’nın ispatı da hem 2 hem 3 ile bölünebilmeye bağlı olarak yapılabilir. Mesela √2’nin ispatına paralel olarak,
√6=a/b
olduğunu kabul edelim. Burada a ve b her ikisi de çift tamsayılar değildirler. Karesini alarak;
6=a2/b2 , a2=6b2
elde ederiz. 6b2 çift olduğundan b2 de çifttir. Öyleyse a çifttir.
a=2c olsun. O halde,
a2=6b2 , (2c)2=6b2 , 4c2=6b2 , 2c2=3b2
yazabiliriz. Bu bize 3b2’nin çift olduğunu gösterir. Öyleyse b2 ve b çifttir. Fakat a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı kabul edilmişti. Öyle ise √6 irrasyoneldir.
√6’nın irrasyonelliğine bağlı olarak √2+√3’ün irrasyonelliğini de şu şekilde gösteririz;
√2+√3 rasyonel olsun.
√2+√3=r diyelim. Karesini alır ve basitleştirirsek,
(√2+√3)2=r2
2+2√6+3=r2
2√6=r2-5
√6=r2-5/2
elde ederiz.
Rasyonel sayılar dört işlem altında kapalı olduklarından r2-5/2 rasyonel bir sayıdır. Fakat √6 irrasyoneldir. Böylece çelişmezliğe düşeriz. Bundan dolayı √2+√3’ün irrasyonel olduğu sonucuna varırız.
REEL SAYILAR
GİRİŞ
En basit sayılar, sayımda kullanılan 1,2,3,… vs gibi pozitif tamsayılardır. Bunlara “tabii sayılar” denir ve binlerce yıl bizimle beraber mevcut olan bu sayılar için tanınmış matematikçi Kronecker “Tanrı tabii sayıları yarattı, bütün geri kalan ise insanın eseridir” meşhur sözünü sarf etmiştir.
Günlük hayatın temel ihtiyaçları ½,2/3,5/4,… vs gibi adi kesirlerin ithalini icap ettirdi. Böyle sayılara rasyonel sayılar denmesi bunların tamsayıların oranları olmalarından dolayıdır.
Tabii sayıların bir doğru parçası boyunca noktalarla gösterildiğini düşünebiliriz. Her nokta tıpkı bir şerit metredeki santim sayıları gibi bir evvelki noktadan bir uzunluk birimi uzaklığında bulunur. Rasyonel sayıları aynı doğru parçası üzerinde gösterebilir ve bunların uzunluk kesirlerini ölçtüğünü gösterebiliriz.
1 2 3 4
1/2 2/3 5/4
1 2 3 4
Daha sonraları Hintliler en mühim olan 0’ı icat ettiler ve modern zamanların başlangıcında ise İtalyan cebircilerin negatif sayıları icat ettiler.
-3/2
-2 -1 0 1 2
Matematikçiler rasyonel sayılardan bahsettikleri zaman (**** olarak gösterilebilen, yani 2=2/1=6/3,…vs olan) pozitif ve negatif tam sayıları, sıfır ve adi kesirleri kastederler. Pozitif ve negatif tam sayılar ve sıfıra tam sayılar denir; bundan dolayı rasyonel sayılar sınıfı tan sayılar sınıfını ihtiva eder.
Z = 21 +È { 0 } È Z
Q = { x/x = a/b , a Є Z , b ≠ a ve b Є Z}
Buradan Z Ì olduğu açıktır. Q
Adi kesirlerin geometrik maksatlar için kafi gelemeyeceğinin keşfi bundan 2500 yıldan daha fazla bir zaman önce Yunanlılar tarafından yapılmıştır.
M.Ö 4. yüzyılda yaşayan Pisagor ve tarikatı evrendeki her şeyin sayılar ile açıklanabileceğini ve sayı üzerine kurulduğunu savunuyorlardı. Matematikçilerden oluşan ve sayılara tapan bu tarikat mensupları öğretilerini dışarıdan hiç kimseye anlatmaz, yazılı bir eser ortaya çıkarmaz, bilgileri kulaktan kulağa aktararak iletir ve saklardı. Her şeyin sayı olduğunu ve evrenin sayılarla açıklanabileceğini savunan bu tarikatın bir üyesi kenarları 1 birim olan karenin köşegeninin bilinen sayılar cinsinden ifade edilemeyeceğini fark etti.
Kenarları 1 birim olan bir karenin köşegeninin uzunluğu √2 birimdir, yani köşegenin uzunluğu karesi 2 olan sayadır.
Pisagorcular arasında huzursuzluk başladı çünkü inandıkları öğretici her şeyin tam sayılarla açıklanabileceğini savunuyordu. Bir ikilem içine girdiler, öğretilerine yürekten bağlılardı ama mantıkları inandıkları şeyin doğru olmadığını söylüyordu, bu dönem matematiğin ilk bunalımı sayılır.
Pisagor teoremine göre böyle bir7 karenin köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olan bir irrasyonel sayı ile ifade edebiliriz. Geometrik olarak bunun ifade ettiği anlam, bir karenin hem kenarına ve hem de köşegenine konulabilecek bir tam sayı misli kadar hiçbir müşterek uzunluk biriminin ve ne kadar hassas olursa olsun, hiçbir müşterek ölçeğin mevcut olmayışıdır.diğer bir deyişle, bir karenin kenar ve köşegeninin, ne kadar küçük olursa olsun, katları olabilecek böyle bir birim yoktur. Yunanlılar için bu garip bir keşifti, çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiği takdirde müşterek bir uzunluk biriminin mevcudiyeti kabul edilmekte idi.
İki rasyonel sayı arasına, sonsuz çoklukta baksa rasyonel sayılar yerleştirilebileceğini ifade etmiştik.
1/3 2/3
10/30 20/30
100/300 200/300
. .
. .
Sayı ekseninin rasyonel sayılarla tamamen doldurulamayacağını gördük.
√2 irrasyonel bir sayıdır. sayı eksenini rasyonel sayılarla dolduramıyoruz. Madem ki eksen üzerindeki her nokta başlangıç noktasından bir miktar uzaklıkta bulunuyor, böylece her noktaya bir sayının tekabül etmesi gerekir.
Her noktasına bir sayı tekabül ettirilen doğru veya eksene “reel doğru” denir.
i ) A Number Line :
Zero
Negatif numbers Positive numbers
-2 -1 0 1 2
ii )A Number Line With Rationals:
…1/16 1/8 ¼ ½
-8 -6 -4 -2 0 .2 .4 .6 .8 1
iii ) Finding an irrational “hole ” on a dense number line with rationals plotted
1
-5 0 .5 1 1.5
√2 1
iv ) Real number line showing some rationals and some irrationals
Rationals 0.1555…
0 0.05 √0.01 0.15 1/5 1/4
R . . . .
0 0.2 0.4 π/50 .0.8 0.1 0.14 0.16 0.18 0.2 √0.05 0.24 0.26
Irrationals -0.12345678910…
Q Q1
N
Z
IR = Z È Q È Q1
-----------------R----------------------
Herhangi bir reel sayıya rasyonel yada irrasyoneldir.
OMÇG (Amerikalı matematikçi ve eğitimciler tarafından oluşturulan) 1950’li yıllarda aksiyomları euclidyen geometri için sunmuşlardır.
Uzaklık hakkındaki aksiyomlarında;
Postulat 3(Cetvel postulatı): Bir doğrunun noktaları reel sayılar ile 1-1 tekabül içine aşağıdaki gibi sokulabilir.
Her noktaya kesinlikle bir reel sayı karşılık gelir.
Her reel sayıya doğrunun bir noktası karşılık gelir.
İki nokta arasındaki uzaklık bu noktada karşılık gelen sayılar farkının mutlak değeridir.
Reel doğrunun noktalarına tekabül eden sayıların rasyonel veya irrasyonel olmalarına göre noktalar ya rasyonel yada irrasyoneldir.
Reel sayılar bütün rasyonel ve irrasyonel sayılardan ibaret olup matematiğin merkezsel sayı sistemini teşkil eder. Geometri, reel sayıların yani verilen bir uzunluk birimi cinsinden mümkün bütün uzunlukları ölçmek için gerekli bütün sayıların tarifi için bir usul verir. Geometride uzunlukların, alanların veya hacimlerin sonucu bizi reel sayılara götürür.
Bir doğru parçası boyunca sayıların noktalar olarak gösterilişlerini tekrar göz önüne alırsak, ne kadar küçük olursa olsun, herhangi bir doğru parçasının sonsuz sayıda çok rasyonel nokta ihtiva etmesine rağmen rasyonel sayılarla ifade edilemeyen uzunlukları ölçen çok sayıda başka (√2,∏,log2) noktaların da mevcut olduğunu buluruz. Bütün reel sayıları göz önüne alırsak, doğru üzerinde her noktaya tam bir reel sayı ve her reel sayıya doğru üzerinde edilebileceği keyfiyeti bu sayıların tamamlık özelliği olarak bilinir ve matematik analizin bütün gelişmesi bu özelliğine dayanır.
Reel sayılar böylece iki cinstir, rasyonel ve irrasyonel sayılar olmak üzere. Reel sayıların daha yeni olan cebirsel sayılar ve transandant sayılar diye iki kategoriye ayrılması vardır.
Bütün polinom denklemlerin gerçel sayı olarak çözümleri Q’ ya ilave edilecek olursa gerçel sayılar elde edilmelidir. Burada herhangi bir polinom denklemi sağlamayan gerçel sayıların varolduğu gerçeği unutulmamalıdır. Dolayısıyla katsayıları tam sayı olan polinomların gerçel sayılardaki çözümlerine cebirsel sayılar; cebirsel olmayan gerçel sayılara da transandant sayılar adı verilir. transandant sayıların sayısı cebirsel sayılardan fazladır.
Her rasyonel sayının cebirsel bir sayı olduğunu görmek kolaydır. Mesela 5/7 7x-5=0 denklemini gerçekler ve bu denklem polinom denklemidir. Daha genel olarak, herhangi a/b rasyonel sayısı bx-a=0 denklemini sağlar ve dolayısıyla cebirsel bir sayıdır.
Her rasyonel sayı madem ki cebirseldir, bundan her cebirsel olmayan sayıların rasyonel olamadıkları sonucu çıkar, daha basmakalıp ifadeyle her transandant sayı irrasyoneldir.
√2 ve 3√7 cebirseldir. x2-2=0 ve x3-7=0 denklemini sağlarlar.
log2 ve π sayıları transandant sayılara örnektir. π sayısı 3,14159… değeri ile herhangi bir dairede çevre uzunluğunun çapı oranıdır.
1851 yılında Fransız matematikçi Liouville transandant sayıların mevcudiyetini ispat etti. Bunu bazı sayıların cebirsel olmadıklarını göstermekle ispatlamıştır. 19. yüzyılın sonlarında π nin transandant bir sayı olduğu ispatlanmış ve bu netice “daireyi kareye çevirme” diye bilinen eski bir geometrik çizim problemini halletmiştir. 19. yüzyılda diğer bir ilerlemeyi Alman matematikçi Cantor, tamamen farklı bir şekilde meseleyi ele alarak, transandant sayıların varlığını ispatlamıştır. Cantor’un ispatı Liouville’nin kine göre cebirsel sayılara nazaran transandant sayıların daha bol olduğunu ispat etmekle bir üstünlük sağlamıştır.
e, π, eπ, 2√2 transandant sayılara bazı örneklerdir. Bu sayılarla çalışmak çok ilgi çekicidir. Çünkü benzer transandant sayıların inşa edilmesi çok zordur. e’nin transandantlığı tabi (doğal) logaritmanın tabanı olarak ilk defa 1873 de Euler tarafından gösterilmiştir.π’nin ki ise 1882 de F.Lindemann tarafından ispatlanmıştır.
Dolayısıyla a≠0, b≠1 ve b bir irrasyonel sayı olmak üzere ab sayısının transandant olup olmadığına karar vermek oldukça zordur. Hilbert sayısı olarak bilinen 2√2‘nin transandant olduğunun gösterilmesi uzun yıllar almıştır.
Rasyonel (bütün bunlar cebirsel sayılardır)
Reel Sayılar
Cebirsel mesela √2 , 3√7
İrrasyonel
Transandant mesela 2√2 , log2 ve π
Rasyonel
Cebirsel
İrrasyonel
Reel Sayılar
Transandant (bütün bunlar irrasyonel sayılardır)
Cebirsel sayıların bazıları rasyonel, bazıları irrasyoneldir. Fakat bütün transandant sayılar irrasyoneldir.
Reel sayıları sınıflamada farklı yollar gösterebiliriz.
Pozitif, negatif ve sıfır
Rasyonel sayı ve irrasyonel sayı
a. Eğer sayı bitiyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/8=0,625
b. Eğer sayı tekrar ediyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/11=0,4545…tekrarlayan ondalık
c. Eğer sayı bitmeyen ve tekrarsız ondalığa sahipse; irrasyoneldir.w
Örnek: √2=1,414213… π=3,14159… e=2,71828…
ONDALIK GÖSTERİLİŞLER
1/3 sayısını reel doğru üzerinde, 0 ile 1 birim noktaları arasını 3’e bölen mesafeye kolayca yerleştirmek mümkündür.
0 1/3 1
Şimdi 1/3’ün ondalıkla gösterilmesini göz önüne alalım:
1/3=0,33333…=3/10+3/100+3/1000+…
bu eşitlik 1/3’ü sonsuz terimli bir toplam olarak ifade eder. Terim sayısının sonu olmamasına rağmen toplamın belirli, yani 1/3 bir değeri vardır. Eğer 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 ; … lere tekabül eden noktaları reel doğru üzerine yerleştirirsek 1/3 noktasına yakın sayan bir noktalar silsilesi elde ederiz.
0 1/3
0,30 0,33
Herhangi bir sonsuz ondalık aynı şekilde reel doğrunun belirli bir noktasına ait olacaktır.
0,99999… sonsuz ondalığı halinde bunu gösteren nokta 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ;vs… noktalarına tekabül eden noktalara yakınsar.
1=0,99999… eşitliğine yakın olarak 1 noktasına yakınsarlar.
0,99
0 0,9 1
Her sayının sonsuz bir ondalık açılımı vardır.
Ör: ½=0,5000… 1/3=0,333..
Sonlu ondalık açılımı olanlar Ör: ¼=0,25
Rasyonel sayılar
Periyodik (tekrarlayan) ondalık açılımı olanlar Ör: 5/8=0,4545…
İrrasyonel sayılar Periyodik olmayanlar Ör: π=3,14159…
Reel sayıların sonsuz ondalık gösterilişleri tektir. İspatlayalım.
Farklı sonsuz ondalık gösterilişi olan iki sayı alalım.
a= 17,923416…
b=17,923415…
a>17,923416 olduğu açıktır. b’de en fazla 17,923416’dır. b’de 5’ takip eden rakamların hepsi 9 olursa, yani eğer b=17,9234159 olursa, b=17,923416 veya 17,923416≥b şeklinde yazarız.
a>17,923416≥b buradan a>b çıkar. Şu halde a’nın b’den daha büyük olduğu sonucuna varırız; tabi bu eşitlik imkanını yok eder yani ortadan kaldırır.
Π SAYISI
İnsanoğlu, daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerliğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların göz bebekleriyle gökyüzündeki güneş veya ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki, dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse çevresi o kadar büyüyordu. Cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki, bu sabit orana π dersek; çevre/çap=π sabit şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu.
Tarihi: π sayısı Babiller, Eski Mısırlılar ve pek çok eski uygarlık tarafından biliniyordu. Onlar, tüm çemberlerin çevresinin çapına bölümünün sabit bir sayıya eşit olduğunu fark etmişlerdi. Bu sabit sayının bulunması artık çapı bilinen bir çemberin çevresinin hesaplanmasına imkan veriyordu. M.Ö 2000 yılı civarında π’yi;
M.Ö 2000: Eski Mısırlılar π = (16/9)2=3,1605
M.Ö 2000: Mezopotamyalılar Babil devrinde π = 3⅛
M.Ö 1200: Çinliler π = 3
M.Ö 550: Kutsal Kitapta(1. Krallar 7:23), π = 3
M.Ö 434 Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir.
M.Ö 300: Archimides 3 10/7<π<□ buluyor.Bundan başka yaklaşık π=211875/67441 buluyor. M.S 200: Batlamyos π = (377/120)=3,14166 M.S 300: Çüng Hing π = √10=3,166 M.S 300: Vang Fau π =(142/45)=3,155 M.S 300: Liu Hui π = (471/150)=3,14 M.S 500: Zu Çung-Çi 3,1415926< π<3,1415927 p="3" 2="2n.2n/(2n-1)(2n-1)" 4="1-1/3+1/5="1/7+1/9-1/11+…" 6="1/12+1/22+1/32+1/42+…" 2="2.2.4.4.6.6.8.8…/1.3.3.5.5.7.7.9.9…(Wallis" 6="1/12+1/22+1/32+…" alan=" En*Boy" alan="πr2" 4="2*2" 6="3*2" 8="4*2" 25="2,66" 50="2,69" n="2,718…gibi" y=" dir." y="2^x)" y="e^x" y="y’" b="0" 3="0" b="0" 3="0" x="0" x =" 0" 2x =" 0" 1 =" 0" 1 =" 0" 3x =" 0" 1 =" 0" 1 =" 0" 2 =" 0" 2 =" 0" 4x =" 0" 1 =" 0" 2 =" 0" 2=" 0" 3 =" 0" 3 =" 0" a0 =" 0" an=" 0" x =" 0" x2="0," 2x="0," 1="0," 1="0," x2="0," 2x2="0," 1="0," 1="0," 3x="0," 1="0," 1="0," 2="0," 2=" Lineer" s =" {a1" m="{a1">
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)
