RASYONEL SAYILAR(TARİHİ NOTLAR)

Mısırlılarda Kesirler
Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir.


1 2
Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır.
Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştir.
Kesirler Ve Romalılar
Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.
Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir.
1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram
1 Pound = 16 Ounc
ve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır. Bu da 340 gcrama tekabül eder.


Rasyonel Sayılar ve Yunanlılar
Yunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor tarafından bulunan klişe şu idi.
Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu.
Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı.
1
1 1

1
Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi. İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.
TARİHSEL NOTLAR
Kesir
Arapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir.
İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.
“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir.” der.
Bölme Sembolü ( ¸)
Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (:) iki nokta üst üste kullanılıyordu.)
1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de ¸ işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.
Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra ¸ işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.
RASYONEL SAYILAR
Tarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır.
Bu yüzden; 1¸ 2 = k
Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.
Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır.
Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır.
Buna rağmen, bazıları değilidir.
Rasyonel sayılar
Bir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildir.
Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.
Rasyonel Sayıların İnşası
Matematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.
(a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )
(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)
Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz.
(a, b) ~ (c,d) Ş a x d = b x c
bu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz.
Denklik İlişkisi
(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.
(a,b) ~ (c,d) biçiminde gösterilir.
(a,b) ~ (c,d) Û ad = bc
örnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir.
Denklik Sınıfı
(a.b) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı () ile gösterilir.
Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......}
= {(x,2x): x e Z ve x ¹ 0}’ dır.
Rasyonel Sayılar Ve Kesirler
a , b e Z ve şeklinde (b ¹ 0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü temsil ediyor. a ise parçayı temsil ediyor.
Rasyonel Sayı
a , b e Z ve şeklinde (b ¹ 0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur. biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder.
Mesela ; () = {.........,,......... }
Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.
Önemli Notlar
¸verilmiş ve c ¹ 0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b ¹ 0 ya da d ¹ 0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.
Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
= 1,66666...., =0,142857142, = 0,5
Sonuç Olarak
Rasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.
Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir. Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir