fcksavedurl="http://images.repage.de/games/index.php?g=alien" target=_blank>
29 Ekim 2007 Pazartesi
RASYONEL SAYILAR(TARİHİ NOTLAR)
Mısırlılarda Kesirler
Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir.
1 2
Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır.
Bu hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır. Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştir.
Kesirler Ve Romalılar
Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.
Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına ) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir.
1 Pound = 454 gram, 1 Ounc= 28,3 gram
1 Pound = 16 Ounc
ve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır. Bu da 340 gcrama tekabül eder.
Rasyonel Sayılar ve Yunanlılar
Yunanlılar Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor tarafından bulunan klişe şu idi.
Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu.
Geometrik ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi, Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra bu klişenin güvenirliği azaldı.
1
1 1
1
Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi. İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.
TARİHSEL NOTLAR
Kesir
Arapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’ deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir.
İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından kullanılmıştır.
“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak bir çizgidir.” der.
Bölme Sembolü ( ¸)
Bölme sembolü; John Wallis (1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (:) iki nokta üst üste kullanılıyordu.)
1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de ¸ işaretleri tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.
Bölüm (-) işaretinin iş hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe (kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u kullanalım. Bundan sonra ¸ işareti matematiksel bir ifade haline dönüştü.
RASYONEL SAYILAR
Tarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız vardır.
Bu yüzden; 1¸ 2 = k
Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak şekilde sınırlandırmışlardır.
Romalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan kaçınmışlardır.
Ayakları zerrelere (baş parmak) ve libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır.
Buna rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri olanaklıdır.
Buna rağmen, bazıları değilidir.
Rasyonel sayılar
Bir rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve payda (b) sıfıra eşit değildir.
Rasyonel ayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
Bütün rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir. Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.
Rasyonel Sayıların İnşası
Matematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.
(a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )
(a,b) x (c,d) = (a x c, b x d)
Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak tanımlayabiliriz.
(a, b) ~ (c,d) Ş a x d = b x c
bu denklik ilişkisi toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi olarak tanımlayabiliriz.
Denklik İlişkisi
(a,b) ve (c,d) iki kesir olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.
(a,b) ~ (c,d) biçiminde gösterilir.
(a,b) ~ (c,d) Û ad = bc
örnek (1,2) ve (3,6) elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri (3,6) kesrine denktir.
Denklik Sınıfı
(a.b) kesrinin elemanına denk olan elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı () ile gösterilir.
Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......}
= {(x,2x): x e Z ve x ¹ 0}’ dır.
Rasyonel Sayılar Ve Kesirler
a , b e Z ve şeklinde (b ¹ 0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü temsil ediyor. a ise parçayı temsil ediyor.
Rasyonel Sayı
a , b e Z ve şeklinde (b ¹ 0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur. biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder.
Mesela ; () = {.........,,......... }
Denklik sınıfında bulunan bütün elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından oluşmuştur.
Önemli Notlar
¸verilmiş ve c ¹ 0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b ¹ 0 ya da d ¹ 0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.
Rasyonel sayılar genellikle kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir.
= 1,66666...., =0,142857142, = 0,5
Sonuç Olarak
Rasyonel sayılar düzenli olarak yoğun bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.
Rasyonel sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir. Bu alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt kümesidir
DOĞAL SAYILAR
İlkel toplumlarda sayı fikri gelişmemişti. Bu toplumlarda insanlar örneğin “ iki koyun” , “iki keçi” , “iki ağaç” için ayrı ayrı deyimler kullanılmış , eşyadan ayrı soyut olarak “iki” kavramına erişememişlerdi.
Uygarlığın ilerlemesi ile insanlar, aynı çokluktaki nesnelerden soyutlama yolu ile sayı kavramına erişmiş ve sayıları işaretlerle göstermişlerdir.
Sayılar, insanların etrafında gördüğü ve devamlı olarak temasta bulunduğu eşyaları, nesneleri saymak ihtiyacından doğmuştur. İlk insanlar kümelerin elemanları aralarında eşleme yaparak sayı fikrinin gelişmesinde katkıda buludular.
Zamanla bilinen sayılar ihtiyacı karşılayamaz durumda kalınca yeni sayı kümeleri geliştirmişlerdir.
Şimdi doğal sayıları matematikçi gözüyle ele alıp inceleyeceğiz. Bunun için önce eşit güçlü cümleler kavramını tanıyalım.
--Eşit Güçlü Cümleler
Tanım: A ve B iki cümle , f: A ®b bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu birebir ve örten ise bu fonksiyona birebir eşleme denir. A dan B’ ye en az birebir eşleme varsa A ve B cümlelerine eşit güçlü cümleler denir.
A cümlesinin B cümlesine eşit güçlü olduğunu A ~ B biçiminde gösterilir.
Örnek: A = {a,b,c } ve B = {x,y,z } olduğuna göre A cümlesi B cümlesine eşit güçlüdür. Yani A ~ B dir. Çünkü A dan B ye birebir ve örten en az bir fonksiyon vardır.
Teorem: Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
İspat: Cümleler ailesini A, bağıntıyı B ile gösterelim.
B ={(a,b )I A,B Î A ve A ~ B } dir.
A e A için IA : A ®A, IA (x) = x fonksiyonu birebir ve örten olduğundan A cümlesi A cümlesine eşit güçlüdür. A ~A olduğundan B yansıyandır.
(A,B) Î B Þ A ~ B
Þ f, f: A ®B 1:1 ve örtendir.
Þ f-1 : B ~ A 1:1 ve örtendir.
Þ B ~ A
Þ (B, A ) Î B olduğundan B simetriktir.
[ (A,B) Î B ve (B,C) Î B ] Þ f,g için f: A ®B ve g: B®C 1:1 ve örtendir.
Þ gof: A ®C 1:1 ve örtendir.
Þ A ~ C
Þ (A,C ) Î B olduğundan B geçişlidir.
B bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişli olduğundan bu bağıntı denklik bağıntısıdır.
DOĞAL SAYILAR CÜMLESİ
Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısının bir denklik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu biliyoruz. Buna göre sonlu aileler kümesinde tanımlı eşit güçlü olma bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı sonlu cümleler ailesini denklik sınıflarına ayırır.
Sonlu bir X cümlesinin denklik sınıfını ile gösterelim.
= {yI y~ x } dir.
Boş cümlenin sonlu cümle olduğunu biliyoruz. Bu cümlenin denklik sınıfını 0 ile gösterelim ve ‘sıfır’ diye okuyalım. Buna göre;
f = 0 = {y I y ~f } dır.
{0} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu cümlenin denklik sınıfını 1 ile gösterelim ve ‘ bir’ diye okuyalım. Buna göre;
{ } = 1={y I y ~ {0} } dır.
{0,1} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu denklik sınıfını 2 ile gösterelim ve ‘iki ’ diye okuyalım. Buna göre;
{ }= 2 ={y I y ~ {0,1} }dır.
Bu işlem sürdürülürse, { } = 3= {y I y ~ {0,1,2}}
{ } = 4 = {y I y ~ {0,1,2,3}}... elde edilir. Öyleyse aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım: Sonlu cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısına göre elde edilen ve 0,1,2,3,4, ... ile gösterilen denklik sınıflarından her birine doğal sayı denir. Doğal ayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} dir.
Teorem: iki doğal sayı ya eşittir ya da birbirinden farklıdır.
İspat: Her bir doğal sayı bir denklik sınıfıdır. İki denklik sınıfı ya eşit ya da farklı olduğundan bunların belirttiği doğal sayılar ya birbirine eşittir veya birbirinden farklıdır. Yani x, y Î N olduğuna göre ya x= y dir veya x ¹ y dir.
Doğal Sayılar Cümlesinde Toplama
Tarihsel Not: “ Toplama” kelimesi Latince ilave etmek anlamına gelen “ adhere “ kelimesinden gelir. Widman ilk olarak “+” ve “-“ işaretlerini 1489 da “-“ nedir? eksiğidir, “+” nedir? fazlasıdır, diye ifade etmiştir.”+” sembolünün Latince “et” kökenli olduğuna inanılır.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi ile y’ yi temsil eden ve A ile ayrık olan bir B cümlesinin birleşiminin bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin toplamı denir. Toplamını bulmak için yapılan işleme toplama işlemi denir. x ve y doğal sayılarının toplamı x+y ile gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
Doğal sayılar cümlesi toplama işlemine göre kapalıdır.
Toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır.
Doğal sayılar cümlesinin toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.
Doğal Sayılar Cümlesinde Çarpma
Tarihsel Not: “Çarpma” kelimesi Latince “fazla katı olan” anlamına gelen “multiplicare” kelimesinden gelmiştir. Çarpma için x sembolünü Oughtred 1631 tanıtmıştır ve Harriot “.” yı aynı yıl kullanmıştır. 1968 de Leibniz , Bernoulli ye yazdığı mektubunda şöyle dedi: “ Çarpma işlemi için x simgesinin kullanılmasını sevmiyorum çünkü c ile kolaylıkla karıştırılabilir... Genelde iki sayıyı araya nokta koyarak çarpma işlemi yaparım”
Günümüzde çarpma işlemi 3 x a da olduğu gibi x işaretiyle,
3.a da olduğu gibi bir noktayla
3(a) da olduğu gibi parantezle veya
3a da olduğu gibi birleşik olarak gösterilir.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi , y’ yi temsil eden B cümlesinin kartezyen çarpımının bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin çarpımı denir. Çarpımı bulmak için yapılan işleme çarpma denir. x ve y doğal sayılarının çarpımı x xy, x.y veya xy biçimde gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
Doğal sayılar cümlesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Çarpma işleminde değişme ve birleşme özelliği vardır.
Doğal sayılar cümlesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 1 ‘ dir.
Kapalılık Özelliği
Herhangi iki doğal sayıyı toplarsak ya da çarparsak yine bir doğal sayı elde ederiz. Bu bilgi tecrübeyle sabittir (tüme varım mantığı ) fakat aslında tüm doğal sayılar değil küçük bir kısmı denemiş ve sonuç elde edilmiştir. Bilim adamları ve özellikle matematikçiler çabuk tahminde bulunma konusunda çok şüphecidirler. Herhangi iki doğal sayının toplama veya çarpma sonucunun yine bir doğal sayıyı vermesi kapalılık özelliği olarak adlandırılır.
Birleşme ve Değişme Özelliği
Doğal sayıların diğer bir açık özelliği toplama işleminin sırasıyla ilgilidir. Buna toplama işleminin değişme özelliği denir ve sayıları toplama sırasının sonucu değiştirmeyeceğini belirtir; yani a+b = b+a dır.
Değişme özelliği sayıların yerini değiştirmemizi sağlar, buna sıralam özelliği denir.
Birleşme özelliği birlikte hesaplamada ve sadeleştirmede kullanılır.
Birleşme özelliği toplamada sayıları gruplandırmamızı sağlar.
Üç sayıyı toplayacağımızı farz edelim. Bu sayıları toplamak için önce ikisini toplayıp sonra toplama üçüncü sayıyı eklemek gerekir. Birleşme özelliği gösterir ki, herhangi iki rakamın ilk olarak toplanacağı sorun değildir, sonuç aynıdır. Eğer parantezler ilk olarak toplanacak iki sayıyı gösterirse bu özellik şöyle gösterilir;
(2+3)+8=2+(3+8)
Parantezler ilk olarak toplanacak rakamları gösterir. Toplamada birleşme özelliği üç ya da daha fazla sayının toplamında da kullanılır.
Şimdi de doğal ayılar kümesi için çarpma özelliğinin değişme ve birleşme özelliğini inceleyelim;
Değişme: 2x3 3x2
Birleşme: (2x3)x4 2x(3x4)
Değişme ve birleşme özellikleri arasındaki ayırımı yapabilmek için şunları hatırlayalım;
Değişme özelliği kullanıldığında rakamların sağdan sola, soldan sağa sırası değiştirilebilir. Ama grup lama değiştirilmez
Birleşme özelliği kullanıldığında, rakamlar farklı gruplandırılır ama sıraları değiştirilmez.
Eğer hem gruplama hem de sıralamaları değiştirilirse hem değişme hem de birleşme özelliği kullanılmış olur.
Değişme ve birleşme özellikleri doğal sayılar kümesi ile sınırlandırılmaz ya da sadece toplama ve çarpma işlemleriyle de sınırlandırılmaz. Aslında kendi sayı grubumuzu oluşturmak ve bu özelliklerin geçerli olup olmadığını bulmak eğlencelidir.
Uygarlığın ilerlemesi ile insanlar, aynı çokluktaki nesnelerden soyutlama yolu ile sayı kavramına erişmiş ve sayıları işaretlerle göstermişlerdir.
Sayılar, insanların etrafında gördüğü ve devamlı olarak temasta bulunduğu eşyaları, nesneleri saymak ihtiyacından doğmuştur. İlk insanlar kümelerin elemanları aralarında eşleme yaparak sayı fikrinin gelişmesinde katkıda buludular.
Zamanla bilinen sayılar ihtiyacı karşılayamaz durumda kalınca yeni sayı kümeleri geliştirmişlerdir.
Şimdi doğal sayıları matematikçi gözüyle ele alıp inceleyeceğiz. Bunun için önce eşit güçlü cümleler kavramını tanıyalım.
--Eşit Güçlü Cümleler
Tanım: A ve B iki cümle , f: A ®b bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu birebir ve örten ise bu fonksiyona birebir eşleme denir. A dan B’ ye en az birebir eşleme varsa A ve B cümlelerine eşit güçlü cümleler denir.
A cümlesinin B cümlesine eşit güçlü olduğunu A ~ B biçiminde gösterilir.
Örnek: A = {a,b,c } ve B = {x,y,z } olduğuna göre A cümlesi B cümlesine eşit güçlüdür. Yani A ~ B dir. Çünkü A dan B ye birebir ve örten en az bir fonksiyon vardır.
Teorem: Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
İspat: Cümleler ailesini A, bağıntıyı B ile gösterelim.
B ={(a,b )I A,B Î A ve A ~ B } dir.
A e A için IA : A ®A, IA (x) = x fonksiyonu birebir ve örten olduğundan A cümlesi A cümlesine eşit güçlüdür. A ~A olduğundan B yansıyandır.
(A,B) Î B Þ A ~ B
Þ f, f: A ®B 1:1 ve örtendir.
Þ f-1 : B ~ A 1:1 ve örtendir.
Þ B ~ A
Þ (B, A ) Î B olduğundan B simetriktir.
[ (A,B) Î B ve (B,C) Î B ] Þ f,g için f: A ®B ve g: B®C 1:1 ve örtendir.
Þ gof: A ®C 1:1 ve örtendir.
Þ A ~ C
Þ (A,C ) Î B olduğundan B geçişlidir.
B bağıntısı yansıyan, simetrik ve geçişli olduğundan bu bağıntı denklik bağıntısıdır.
DOĞAL SAYILAR CÜMLESİ
Herhangi bir cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısının bir denklik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu biliyoruz. Buna göre sonlu aileler kümesinde tanımlı eşit güçlü olma bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı sonlu cümleler ailesini denklik sınıflarına ayırır.
Sonlu bir X cümlesinin denklik sınıfını ile gösterelim.
= {yI y~ x } dir.
Boş cümlenin sonlu cümle olduğunu biliyoruz. Bu cümlenin denklik sınıfını 0 ile gösterelim ve ‘sıfır’ diye okuyalım. Buna göre;
f = 0 = {y I y ~f } dır.
{0} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu cümlenin denklik sınıfını 1 ile gösterelim ve ‘ bir’ diye okuyalım. Buna göre;
{ } = 1={y I y ~ {0} } dır.
{0,1} cümlesi sonlu bir cümledir. Bu denklik sınıfını 2 ile gösterelim ve ‘iki ’ diye okuyalım. Buna göre;
{ }= 2 ={y I y ~ {0,1} }dır.
Bu işlem sürdürülürse, { } = 3= {y I y ~ {0,1,2}}
{ } = 4 = {y I y ~ {0,1,2,3}}... elde edilir. Öyleyse aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım: Sonlu cümleler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısına göre elde edilen ve 0,1,2,3,4, ... ile gösterilen denklik sınıflarından her birine doğal sayı denir. Doğal ayılar kümesi N ile gösterilir.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} dir.
Teorem: iki doğal sayı ya eşittir ya da birbirinden farklıdır.
İspat: Her bir doğal sayı bir denklik sınıfıdır. İki denklik sınıfı ya eşit ya da farklı olduğundan bunların belirttiği doğal sayılar ya birbirine eşittir veya birbirinden farklıdır. Yani x, y Î N olduğuna göre ya x= y dir veya x ¹ y dir.
Doğal Sayılar Cümlesinde Toplama
Tarihsel Not: “ Toplama” kelimesi Latince ilave etmek anlamına gelen “ adhere “ kelimesinden gelir. Widman ilk olarak “+” ve “-“ işaretlerini 1489 da “-“ nedir? eksiğidir, “+” nedir? fazlasıdır, diye ifade etmiştir.”+” sembolünün Latince “et” kökenli olduğuna inanılır.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi ile y’ yi temsil eden ve A ile ayrık olan bir B cümlesinin birleşiminin bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin toplamı denir. Toplamını bulmak için yapılan işleme toplama işlemi denir. x ve y doğal sayılarının toplamı x+y ile gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
Doğal sayılar cümlesi toplama işlemine göre kapalıdır.
Toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır.
Doğal sayılar cümlesinin toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanı sıfırdır.
Doğal Sayılar Cümlesinde Çarpma
Tarihsel Not: “Çarpma” kelimesi Latince “fazla katı olan” anlamına gelen “multiplicare” kelimesinden gelmiştir. Çarpma için x sembolünü Oughtred 1631 tanıtmıştır ve Harriot “.” yı aynı yıl kullanmıştır. 1968 de Leibniz , Bernoulli ye yazdığı mektubunda şöyle dedi: “ Çarpma işlemi için x simgesinin kullanılmasını sevmiyorum çünkü c ile kolaylıkla karıştırılabilir... Genelde iki sayıyı araya nokta koyarak çarpma işlemi yaparım”
Günümüzde çarpma işlemi 3 x a da olduğu gibi x işaretiyle,
3.a da olduğu gibi bir noktayla
3(a) da olduğu gibi parantezle veya
3a da olduğu gibi birleşik olarak gösterilir.
Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A cümlesi , y’ yi temsil eden B cümlesinin kartezyen çarpımının bulunduğu denklik sınıfına x ile y’ nin çarpımı denir. Çarpımı bulmak için yapılan işleme çarpma denir. x ve y doğal sayılarının çarpımı x xy, x.y veya xy biçimde gösterilir.
Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur.
Doğal sayılar cümlesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Çarpma işleminde değişme ve birleşme özelliği vardır.
Doğal sayılar cümlesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 1 ‘ dir.
Kapalılık Özelliği
Herhangi iki doğal sayıyı toplarsak ya da çarparsak yine bir doğal sayı elde ederiz. Bu bilgi tecrübeyle sabittir (tüme varım mantığı ) fakat aslında tüm doğal sayılar değil küçük bir kısmı denemiş ve sonuç elde edilmiştir. Bilim adamları ve özellikle matematikçiler çabuk tahminde bulunma konusunda çok şüphecidirler. Herhangi iki doğal sayının toplama veya çarpma sonucunun yine bir doğal sayıyı vermesi kapalılık özelliği olarak adlandırılır.
Birleşme ve Değişme Özelliği
Doğal sayıların diğer bir açık özelliği toplama işleminin sırasıyla ilgilidir. Buna toplama işleminin değişme özelliği denir ve sayıları toplama sırasının sonucu değiştirmeyeceğini belirtir; yani a+b = b+a dır.
Değişme özelliği sayıların yerini değiştirmemizi sağlar, buna sıralam özelliği denir.
Birleşme özelliği birlikte hesaplamada ve sadeleştirmede kullanılır.
Birleşme özelliği toplamada sayıları gruplandırmamızı sağlar.
Üç sayıyı toplayacağımızı farz edelim. Bu sayıları toplamak için önce ikisini toplayıp sonra toplama üçüncü sayıyı eklemek gerekir. Birleşme özelliği gösterir ki, herhangi iki rakamın ilk olarak toplanacağı sorun değildir, sonuç aynıdır. Eğer parantezler ilk olarak toplanacak iki sayıyı gösterirse bu özellik şöyle gösterilir;
(2+3)+8=2+(3+8)
Parantezler ilk olarak toplanacak rakamları gösterir. Toplamada birleşme özelliği üç ya da daha fazla sayının toplamında da kullanılır.
Şimdi de doğal ayılar kümesi için çarpma özelliğinin değişme ve birleşme özelliğini inceleyelim;
Değişme: 2x3 3x2
Birleşme: (2x3)x4 2x(3x4)
Değişme ve birleşme özellikleri arasındaki ayırımı yapabilmek için şunları hatırlayalım;
Değişme özelliği kullanıldığında rakamların sağdan sola, soldan sağa sırası değiştirilebilir. Ama grup lama değiştirilmez
Birleşme özelliği kullanıldığında, rakamlar farklı gruplandırılır ama sıraları değiştirilmez.
Eğer hem gruplama hem de sıralamaları değiştirilirse hem değişme hem de birleşme özelliği kullanılmış olur.
Değişme ve birleşme özellikleri doğal sayılar kümesi ile sınırlandırılmaz ya da sadece toplama ve çarpma işlemleriyle de sınırlandırılmaz. Aslında kendi sayı grubumuzu oluşturmak ve bu özelliklerin geçerli olup olmadığını bulmak eğlencelidir.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)
